Cylinder przekształcenia

Cylinder przekształcenia (Szablon:Ang.) – pewna przestrzeń ilorazowa przypisana każdemu przekształceniu między dwiema przestrzeniami topologicznymi.

Definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi, a $f:X\to Y$ będzie przekształceniem (ciągłym) między nimi. Cylindrem przekształcenia $f,$ oznaczanym czasem $Z(f),$ nazywa się przestrzeń

$M_f=\left(\right(X\times [0,1])⨿Y)/\sim ,$

gdzie suma jest rozłączna, a relacja $\sim$ jest dana jako

$(x,0)\sim f(x)\text{ dla każdego }x\in X.$

Intuicyjnie cylinder powstaje poprzez „przyklejenie” przestrzeni $X\times [0,1]$ do przestrzeni $Y$ wzdłuż przekształcenia $f.$ Z punktu widzenia teorii kategorii jest to koprodukt włóknisty (pushout) diagramu złożonego z przekształcenia $f$ i włożenia $i_0:X\to X\times [0,1].$

Własności

Przedstawienie przekształcenia jako złożenie korozwłóknienia z homotopijną równoważnością

Dla każdego $f:X\to Y$ istnieje retrakcja $r_0:Z(f)\to Y$ cylindra na podstawę, określona wzorem $r_0(x,t)=f(x),r_0(y)=y.$ Retrakcja ta jest w istocie retrakcją deformacyjną, co oznacza, że przestrzenie $Z(f)$ i $Y$ są homotopijnie równoważne. Wynik ten pozwala nam zamienić dowolne przekształcenie na korozwłóknienie, w następującym sensie: ponieważ włożenie $i_1:X\to Z(f),i_1(x)=(x,1)$ jest korozwłóknieniem (o czym można się przekonać zauważając na przykład, że $(Z(f),X\times \{1\})$ jest parą NDR), $r_0$ jest homotopijną równoważnością, a $f=r_0\circ i_1,$ zatem każde przekształcenie da się zapisać jako złożenie homotopijnej równoważności i korozwłóknienia. Wynik ten odgrywa dość istotną rolę przy definiowaniu homotopijnego kowłókna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę