Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Definicja formalna i przykłady

Ciąg liczbowy $(a_n)$ nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby $r$ (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(a_{n+1}=a_n+r).$

Równoważnie, $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1}).$

Przykłady

• ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
• ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny ($3-1=2,$ ale $4-3=1$),
• dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.

Własności

• Ciąg arytmetyczny o różnicy $r$ ma następujący wzór ogólny:

$a_n=a_1+(n-1)r.$

• Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz $a_1$ ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę $r$ wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
• Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$

• Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego

Suma $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i $n$-tego pomnożona przez liczbę wyrazów $n$:

$S_n=a_1+a_2+\dots +a_n=\frac{a_1+a_n}{2}n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n.$

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat.

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

$S_n=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+\dots +(a_1+(n-2)r)+(a_1+(n-1)r)$   oraz

$S_n=(a_1+(n-1)r)+(a_1+(n-2)r)+\dots +(a_1+2r)+(a_1+r)+a_1$

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

$2S_n=(a_1+(a_1+(n-1)r))+((a_1+r)+(a_1+(n-2)r))+\dots +((a_1+(n-3)r)+(a_1+2r))+((a_1+(n-2)r)+(a_1+r))+((a_1+(n-1)r)+a_1)$

a stąd

$2S_n=(2a_1+(n-1)r)+(2a_1+(n-1)r)+\dots +(2a_1+(n-1)r)+(2a_1+(n-1)r)+(2a_1+(n-1)r)$

i

$2S_n=n(2a_1+(n-1)r).$

Pamiętając, że $a_n=a_1+(n-1)r,$ powyższą równość możemy przekształcić do:

$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)r]}{2}=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową $y=ax+b.$ Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów $x$ różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty $x$ będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego $a.$

Dowód:

$f(x)=ax+b$

$f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b$

$r=f(x+1)-f(x)=(ax+a+b)-(ax+b)=a.$

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej $(r=a).$

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej $y=ax+b$ dla kolejnych naturalnych $x:$

$a_1=f(1)$

$a_2=f(2)$

$a_3=f(3)$

$\dots$

$a_n=f(n)$

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

$a_n=an+b.$

Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

$\begin{array}{cc}{a}_n=5n-3& (r=5)\\ a_n=-2n+3& (r=-2)\\ a_n=-n+4& (r=-1).\end{array}$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Suma wyrazów ciągu arytmetycznego, kanał Khan Academy na YouTube, 5 lipca 2016 [dostęp 2024-06-23].