Akrecja sferyczna

Akrecja sferyczna – sferycznie symetryczne opadanie materii na obiekt centralny pod wpływem jego przyciągania grawitacyjnego.

Stacjonarny (niezależny od czasu) przepływ akrecyjny o takiej geometrii znany jest pod nazwą akrecji Bondiego. Tempo akrecji materii jest w takim przypadku całkowicie określone przez właściwości ośrodka otaczającego centrum grawitacji (np. ośrodka międzygwiazdowego) na dużych odległościach, w tym przede wszystkim przez prędkość dźwięku w ośrodku. Prędkość opadającej materii jest w dużej odległości niewielka, ale rośnie z malejącą odległością i bliżej centrum staje się z reguły naddźwiękowa.

Akrecja sferyczna występuje, gdy obiekt (gwiazda) nie porusza się z prędkością naddźwiękową względem ośrodka, a opadająca materia nie ma znaczącego momentu pędu (nie obraca się). Możliwość występowania takiego procesu rozważa się m.in. w kontekście aktywnych jąder galaktyk (dla galaktyk eliptycznych, szczególnie tych mało aktywnych) oraz w kontekście centrum naszej Galaktyki, jako jedno z możliwych wyjaśnień aktywności źródła Sgr A*.

Podstawowe równania

Rozważmy przepływ sferycznie symetryczny na obiekt o masie M. Zakładając stacjonarność i adiabatyczność przepływu, brak lepkości i pól magnetycznych oraz ignorując pole promieniowania, równania Naviera-Stokesa mogą zostać zredukowane do układu dwóch równań (ciągłości i radialnej równowagi sił):

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

gdzie $v$ oznacza prędkość, $\rho$ gęstość, $p$ zaś ciśnienie. Dwie ostatnie wielkości możemy związać politropowym równaniem stanu: $p=K{\rho }^{\gamma },$ gdzie $K$ i $\gamma$ są stałymi.

Scałkowanie powyższych równań od $r=\mathrm{\infty }$ (przy założeniu $p=0,$ $\rho =0,$ $v=0$) daje postać całkową równania ciągłości i równanie Bernoulliego:

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

gdzie stałe całkowania $\dot{M}$ i $E$ należy interpretować jako tempo akrecji i stałą Bernoulliego.

Prędkość dźwięku i punkt dźwiękowy

Wprowadzając prędkość dźwięku

Szablon:Wzór

do równań Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór otrzymujemy:

Szablon:Wzór

Szablon:Wzór

Biorąc pod uwagę logarytmiczną pochodną równania Szablon:LinkWzór, tj.

Szablon:Wzór

można wyeliminować $d\rho /dr$ z równania Szablon:LinkWzór i otrzymać w ten sposób równanie sferycznej akrecji (ale też wiatru gwiazdowego):

Szablon:Wzór

gdzie $c_s$ jest dane wzorem Szablon:LinkWzór.

Równanie Szablon:LinkWzór pozwala wyznaczyć wartość radialnej pochodnej prędkości akrecji, a tym samym wyznaczyć radialny profil samej prędkości. Łatwo zauważyć, że wartość tej pochodnej jest dobrze określona tylko gdy $v^2\ne c_s^2.$ Natomiast w punkcie, w którym prędkość gazu równa się lokalnej prędkości dźwięku ($v^2=c_s^2$ – punkt dźwiękowy), wymagane dla regularności rozwiązania jest jednoczesne zerowanie się prawej strony równania Szablon:LinkWzór. Stąd wynika wzór na położenie punktu dźwiękowego:

$r_{sonic}=\frac{GM}{2c_{s,sonic}^2}=\frac{5-3\gamma }{4(\gamma -1)}\frac{GM}{E},$

W tym wyprowadzeniu należy skorzystać z równania Szablon:LinkWzór kładąc $v_{sonic}=-c_{s,sonic}:$

$v_{sonic}=2\frac{\gamma -1}{\gamma +1}(E+\frac{GM}{r}).$

Tempo akrecji

Równania Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór można teraz zapisać w sposób następujący:

$(K\gamma {)}^{1/(\gamma -1)}\dot{M}=4\pi r_{sonic}^2|v_{sonic}{|}^{(\gamma +1)/(\gamma -1)},$

$E=\frac{5-3\gamma }{2(\gamma -1)}{v}_{sonic}^2.$

Z powyższych równań widać, że tempo akrecji $\dot{M},$ dla którego spełniony jest warunek regularności w punkcie dźwiękowym, nie jest niezależne od stałej Bernoulliego, $E.$ Aby rozwiązanie było ponaddźwiękowe (przechodziło w regularny sposób przez punkt dźwiękowy), musi być spełniona między nimi następująca relacja:

Szablon:Wzór

Stałą Bernoulliego $E$ można interpretować na podstawie wzoru Szablon:LinkWzór jako proporcjonalną do temperatury ośrodka międzygwiazdowego stanowiącego rezerwuar materii dla akreującego obiektu. Według powyższego rozumowania temperatura owego ośrodka jednoznacznie determinuje tempo akrecji zgodnie ze wzorem Szablon:LinkWzór. Akrecja stacjonarna jest możliwa tylko dla $1<\gamma ⩽5/3.$ W przypadku nierelatywistycznego gazu o $\gamma =5/3$ tempo akrecji wynosi:

Szablon:Wzór

Warto zauważyć, że dokładnie te same równania opisują proces wywiewania materii („ujemnej akrecji”) z powierzchni obiektu będącego źródłem pola grawitacyjnego. Takim procesem jest np. utrata materii z gwiazd poprzez wiatr gwiazdowy. W tym przypadku tempo utraty masy na skutek wiatru określone jest również wzorem Szablon:LinkWzór, wówczas na początku będzie minus.

Bibliografia

• H. Bondi (1952) MNRAS 112, 195.
• Frank, King & Raine, Accretion Power in Astrophysics, Cambridge University Press.
• Kato, Fukue & Mineshige, Black-Hole Accretion Disks – Towards a New Paradigm, Kyoto University Press.