Wariacja bez powtórzeń

Wariacja bez powtórzeń – dowolny ciąg różnych elementów wybranych z pewnego skończonego zbioru. Jeśli zbiór jest n-elementowy, $1⩽k⩽n,$ to ciąg o długości $k$ jest określany jako k-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego. Oczywiście kolejność elementów w ciągu ma znaczenie. Gdy $k=n,$ wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1).$

k-wyrazową wariację bez powtórzeń zbioru n-elementowego można interpretować jako funkcję różnowartościową (iniekcję) ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy.

Na kalkulatorach liczbę wszystkich wariacji bez powtórzeń ze zbioru r-elementowego do zbioru n-elementowego wyraża się znakiem nPr.

Przykłady

• Ze zbioru {a,b,c} można utworzyć następujące 2-elementowe wariacje:

ab, ac, ba, bc, ca, cb

(dla uproszczenia zapisu ciągi nie są ujęte w nawiasy, elementy ciągów nie są oddzielone przecinkami).

• Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 można utworzyć $\frac{5!}{(5-3)!}=60$ liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach.

Związki z innymi wzorami kombinatorycznymi

$V_n^k=C_n^k\cdot P_k$

$V_n^{n-1}=V_n^n=P_n$

gdzie $C_n^k$ jest liczbą k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego, a $P_n$ jest liczbą permutacji zbioru n-elementowego.