Twierdzenie Hessenberga

Twierdzenie Hessenberga - twierdzenie teorii mnogości udowodnione przez Gerharda Hessenberga w roku 1906. Orzeka ono, że jeśli $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną, to zachodzi równość $\kappa \cdot \kappa =\kappa$.

Równoważność z aksjomatem wyboru

Twierdzenie Hessenberga można również sformułować bez odwoływania się do pojęcia liczb kardynalnych. Przyjmuje ono wtedy treść: Każdy zbiór nieskończony $X$ jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim, tj. dla dowolnego nieskończonego zbioru $X$ zachodzi równoliczność $X\sim X\times X$.

Określone w ten sposób twierdzenie jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Aksjomat wyboru implikuje twierdzenie Hessenberga

Dowód: W dowodzie wykorzystamy równoważny aksjomatowi wyboru lemat Kuratowskiego-Zorna.

Weźmy dowolny zbiór nieskończony $X$ i rozpatrzmy zbiór $ℱ=\{f|f:A\to A\times A\text{jest bijekcją, gdzie }A\subset X\text{jest nieskończony}\}.$ Jeśli uporządkujemy $ℱ$ relacją inkluzji, to spełnia on założenia lematu Kuratowskiego-Zorna, a zatem istnieje w nim element maksymalny $g:B\to B\times B$ dla pewnego zbioru $B\subset X.$ Jeśli $|B|=|X|,$ to zachodzi $|X|=|B|=|B\times B|=|X\times X|,$ więc dowód jest zakończony. Załóżmy więc dalej dla dowodu nie wprost, że $|B|<|X|.$ Istnieje wtedy taki zbiór $C\subset X\mathrm{\setminus }B,$ że $|C|=|B|.$ Istotnie, w przeciwnym razie z prawa dychotomii wynikałoby istnienie injekcji $\phi :X\mathrm{\setminus }B\to B,$ więc biorąc dowolne dwa różne punkty $x_1,x_2\in B$ funkcja $\psi :X\to B\times B$ określona jako $\psi (x)=(x,x_1)$ dla $x\in B$ oraz $\psi (x)=(\phi (x),x_1)$ dla $x\in X\mathrm{\setminus }B$ byłaby injekcją, co prowadzi do sprzeczności, ponieważ implikuje nierówność $|X|⩽|B\times B|=|B|.$ Zachodzi $|C|=|B|=|B\times B|=|B\times C|=|C\times B|=|C\times C|,$ a ponadto $|C|⩽|(B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C)|=|C\times \{1,2,3\}|⩽|C\times C|=|C|,$ skąd wynika $|(B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C)|=|C|,$ czyli istnieje bijekcja $h:(B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C)\to C.$ Pozostaje tylko zauważyć, że $(B\cup C)\times (B\cup C)=(B\times B)\cup (B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C),$ a zatem funkcja $g\cup h$ jest bijekcją prowadzącą z $(B\cup C)\times (B\cup C)$ na $B\cup C,$ co jednak przeczy maksymalności elementu $g$.

Twierdzenie Hessenberga implikuje aksjomat wyboru

Dowód: Udowodnimy równoważne aksjomatowi wyboru twierdzenie Zermela, przy czym w dowodzie skupimy się tylko na dobrym uporządkowaniu zbiorów nieskończonych (możliwość wprowadzenia dobrego porządku na zbiorze skończonym wynika wprost z definicji, czyli istnienia bijekcji na ograniczony podzbiór zbioru liczb naturalnych).

Weźmy dowolny zbiór nieskończony $X$ i oznaczmy przez $\alpha =ℍ(X)$ jego liczbę Hartogsa. Zbiór $X\cup \alpha$ jest nieskończony, więc z założenia wynika, że zachodzi $|X\cup \alpha |=|(X\cup \alpha )\times (X\cup \alpha )|⩾|X\times \alpha |,$ a ponadto z faktu, że $|X\cup \alpha |⩽|X\times \alpha |$ i z twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika równoliczność $|X\times \alpha |=|X\cup \alpha |.$ Istnieje zatem bijekcja $f:X\times \alpha \to X\cup \alpha .$ Dla każdego $x\in X$ istnieje $\beta \in \alpha$ takie, że $f(x,\beta )\in \alpha$ (wynika to z definicji liczby Hartogsa, w przeciwnym razie bowiem istniałaby injekcja z $\alpha$ w $X$). Niech zatem dla każdego $x$ liczba ${\beta }_x$ będzie najmniejszą liczbą porządkową o tej własności. Przy takim oznaczeniu funkcja $g:X\to \alpha$ określona jako $g(x)=f(x,{\beta }_x)$ jest injekcją prowadzącą na pewien podzbiór liczby porządkowej, więc można dobrze uporządkować zbiór $X$ za pomocą relacji $a\prec b\iff g(a)<g(b).$