Uogólniona funkcja logistyczna

A=M=0, K=C=1, B=3, ν=0,5, Q=-0,5

Efekt zmiany parametru A. Wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru B. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru C. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru K. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Efekt zmiany parametru Q. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Wpływ zmiany parametru $\nu$ . A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1.

Uogólniona funkcja (lub krzywa) logistyczna – funkcja generująca krzywe w kształcie litery S. Jest rozszerzeniem funkcji logistycznej. Została opracowana jako model wzrostu populacji i rozprzestrzeniania się zjawisk przez biologa F. J. Richardsa w 1959, stąd czasem nazywana jest krzywą Richardsa.

Definicja

Uogólniona funkcja logistyczna ma następującą postać:

$Y(t)=A+\frac{K-A}{(C+Q{e}^{-Bt}{)}^{1/\nu }}$

Gdzie $Y$ to wybrana miara badanego zjawiska, zaś $t$ to czas. Krzywa ma sześć parametrów:

• $A$ – lewa asymptota pozioma;
• $K$ – prawa asymptota pozioma, jeżeli $C=1$; jeśli $A=0$ i $C=1$, $K$ nazywa się pojemnością środowiska;
• $B$ – tempo wzrostu;
• $\nu >0$ – parametr wpływający na to, w pobliżu której asymptoty występuje maksymalny wzrost.
• $Q$ – parametr powiązany z wartością $Y(0)$
• $C$ – parametr zazwyczaj przyjmujący wartość 1. W przeciwnym razie prawa asymptota to $A+\frac{K-A}{C^{1/\nu }}$

Równanie może również być zapisane w formie:

$Y(t)=A+\frac{K-A}{(C+e^{-B(t-M)}{)}^{1/\nu }}$

gdzie $M$ może być traktowane jako moment początkowy, w którym $Y(M)=A+\frac{K-A}{(C+1{)}^{1/\nu }}$.

Wreszcie, zapis zawierający zarówno parametr $Q$, jak i $M$ może okazać się wygodny:

$Y(t)=A+\frac{K-A}{(C+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{1/\nu }}$

Takie sformułowanie ułatwia ustawienie zarówno czasu początkowego, jak i wartości $Y$ w tym czasie.

Jeżeli $Q=\nu =1$, otrzymamy funkcję logistyczną z punktem przegięcia w czasie $M$.

Równanie różniczkowe

Szczególnym przypadkiem uogólnionej funkcji logistycznej jest:

$Y(t)=\frac{K}{(1+Q{e}^{-\alpha \nu (t-t_0)}{)}^{1/\nu }}$,

co jest rozwiązaniem równania różniczkowego Richardsa (RDE):

$Y^{\prime }(t)=\alpha (1-{\left(\frac{Y}{K}\right)}^{\nu })Y$

z warunkiem początkowym

$Y(t_0)=Y_0$

gdzie

$Q=-1+{\left(\frac{K}{Y_0}\right)}^{\nu }$

pod warunkiem że $\nu >0$ i $\alpha >0$

Klasyczne logistyczne równanie różniczkowe jest szczególnym przypadkiem powyższego równania, gdzie $\nu$ = 1, natomiast Szablon:Link-interwiki można odzyskać w granicy $\nu \to 0^{+}$ pod warunkiem że:

$\alpha =O\left(\frac{1}{\nu }\right)$

W rzeczywistości dla małego $\nu$

$Y^{\prime }(t)=Yr\frac{1-\exp (\nu \ln \left(\frac{Y}{K}\right))}{\nu }\approx rY\ln \left(\frac{Y}{K}\right)$

Równanie różniczkowe Richardsa umożliwia modelowanie wielu zjawisk wzrostu, pojawiających się w takich dziedzinach, jak onkologia i epidemiologia.

Gradient uogólnionej funkcji logistycznej

Przy estymacji parametrów na podstawie danych często konieczne jest obliczenie pochodnych cząstkowych funkcji logistycznej względem parametrów w danym punkcie danych $t$ (patrz). Jeżeli $C=1$, mamy:

$\begin{array}{c}\\ \frac{\partial Y}{\partial A}& =1-(1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{-1/\nu }\\ \\ \frac{\partial Y}{\partial K}& =(1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{-1/\nu }\\ \\ \frac{\partial Y}{\partial B}& =\frac{(K-A)(t-M)Q{e}^{-B(t-M)}}{\nu (1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }+1}}\\ \\ \frac{\partial Y}{\partial \nu }& =\frac{(K-A)\ln (1+Q{e}^{-B(t-M)})}{{\nu }^2(1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }}}\\ \\ \frac{\partial Y}{\partial Q}& =-\frac{(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }+1}}\\ \\ \frac{\partial Y}{\partial M}& =-\frac{(K-A)QB{e}^{-B(t-M)}}{\nu (1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }+1}}\\ \end{array}$

Specjalne przypadki

Następujące funkcje są konkretnymi przypadkami krzywych Richardsa:

• funkcja logistyczna
• Szablon:Link-interwiki
• Szablon:Link-interwiki

Bibliografia

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo