Niezależne zmienne losowe o jednakowych rozkładach

Ilustracja dwóch niezależnych zmiennych losowych o jednakowych jednostajnych rozkładach dyskretnych

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce zmienne losowe są niezależne i mają jednakowe rozkłady (ang. independent and identically distributed, i.i.d.), jeżeli każda z nich ma ten sam rozkład prawdopodobieństwa, a wszystkie są niezależne od siebie. Definicja ta znajduje zastosowanie na przykład w eksploracji danych i przetwarzaniu sygnałów.

Definicja dla dwóch zmiennych losowych

Załóżmy, że zmienne losowe $X$ i $Y$ przyjmują wartości dla $I\subseteq ℝ$. Niech $F_X(x)=\mathrm{P}(X⩽x)$ oraz $F_Y(y)=\mathrm{P}(Y⩽y)$ będą dystrybuantami $X$ oraz $Y$. Oznaczmy przez $F_{X,Y}(x,y)=\mathrm{P}(X⩽x\wedge Y⩽y)$ ich wspólną dystrybuantę.

Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy $F_X(x)=F_Y(x)\mathrm{\forall }x\in I$.

Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy $F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\mathrm{\forall }x,y\in I$.

Dwie zmienne losowe $X$ i $Y$ są niezależne i mają jednakowe rozkłady wtedy i tylko wtedy, gdy

$\begin{array}{cccc}& F_X(x)=F_Y(x)& \mathrm{\forall }x\in I& \text{oraz}\\ & F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)& \mathrm{\forall }x,y\in I& \end{array}$.

Definicja dla więcej niż dwóch zmiennych losowych

Powyższą definicję można rozszerzyć na więcej niż dwie zmienne losowe: $n$ zmiennych losowych $X_1,X_2,\dots ,X_n$ jest niezależnych i ma jednakowy rozkład wtedy i tylko wtedy, gdy

$\begin{array}{cccc}& F_{X_1}(x)=F_{X_k}(x)& \mathrm{\forall }k\in \{1,\dots ,n\}\text{i}\mathrm{\forall }x\in I& \text{oraz}\\ & F_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdot \dots \cdot F_{X_n}(x_n)& \mathrm{\forall }{x}_1,\dots ,x_n\in I& \end{array}$,

gdzie $F_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n)=\mathrm{P}(X_1⩽x_1\wedge \dots \wedge X_n⩽x_n)$ jest wspólną dystrybuantą $X_1,X_2,\dots ,X_n$.