Szereg Gregory’ego

Szereg Gregory’ego – rozwinięcie funkcji arcus tangens w szereg Taylora. Szereg Gregory’ego został odkryty w 1668 roku przez Jamesa Gregory’ego oraz kilka lat później niezależnie przez Gottfrieda Leibniza. Przypadek $x=1$ jest wzorem Leibniza na obliczanie liczby $\pi$.

Szereg

Szereg wygląda następująco

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{du}{1+u^2}=\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\dots$

Szereg podobny jest do rozwinięcia w szereg Taylora funkcji sinus, który w mianownikach, zamiast kolejnych liczb nieparzystych, ma silnie kolejnych liczb nieparzystych, zob. wzór Taylora.

Historia

Najwcześniejszą osobą, której można z całą pewnością przypisać znajomość szeregu, jest Madhava z Sangamagramy (ok. 1340 – ok. 1425). Pierwotna wzmianka (jak w przypadku większości prac Madhavy) zaginęła, ale kilku jego następców z założonej przez niego szkoły astronomii i matematyki w Kerali przypisuje mu to odkrycie. Konkretne wzmianki o szeregu znajdują się w dziele Tantrasangraha Nilakantha Somayaji (ok. 1500), traktacie Yuktibhāṣā Jyeṣṭhadevy (ok. 1530) oraz komentarzu Yukti-dipika autorstwa Sankary Variyara, gdzie podano go w wersetach 2.206–2.209.

Odkrycie szeregu jest przypisywane Gregory’emu na podstawie dwóch publikacji z 1668 r.: Geometriae pars universalis (Powszechna część geometrii), Exercitationes geometrica (Ćwiczenia geometryczne).

Bibliografia

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, wydanie drugie, John Wiley & Sons, Inc., s. 386, 1991.
• Gupta, RC (1973). „The Madhava–Gregory series”. Mathematical Education. 7: 67–70.