Liczba plastikowa

Liczba plastikowaSzablon:R – liczba niewymierna będąca jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania $x^3-x-1=0$Szablon:R. Jej własności badali na początku XX w. Francuz Gérard Cordonnier oraz holenderski architekt i mnich Hans van der LaanSzablon:R.

Własności

Długości boków trójkątów równobocznych równe są kolejnym wyrazom ciągu Padovana

Jest równaSzablon:R:

$P=\frac{\sqrt[3]{108+12\sqrt{69}}+\sqrt[3]{108-12\sqrt{69}}}{6}=1,3247\dots ,$

co odpowiada ułamkowi łańcuchowemu:

$P=1+\frac{1}{3+\frac{1}{12+\frac{1}{1+\ddots }}}$

oraz zagnieżdżonemu pierwiastkowiSzablon:R:

$P=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\dots }}}.$

Liczba plastikowa jest granicą ciągu ilorazów kolejnych wyrazów ciągu PadovanaSzablon:R, definiowanego następująco:

$\{\begin{array}{c}{P}_0=P_1=P_2=1\\ P_n=P_{n-2}+P_{n-3}\end{array},$

mianowicie

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{P_n}{P_{n-1}}=1,3247\dots ,$

natomiast początkowe wyrazy ciągu Padovana to: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12....