Hipoteza Gilbreatha

Hipoteza Gilbreatha – problem teorii liczb, po raz pierwszy sformułowany przez François Protha w 1878 roku, podał on również jej dowód, jednak okazał się on błędny. Niezależnie od niego hipoteza została sformułowana w XX wieku przez Normana Gilbreatha i do tej pory pozostaje nieudowodniona.

Obserwacja

Rozważmy ciąg liczb pierwszych:

$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots$

Obliczając wartość bezwzględną różnic kolejnych elementów ciągu, otrzymujemy ciąg:

$1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots$

Powtarzając operację dla powyższego ciągu, dostajemy:

$1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots$

$1,2,0,0,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,0,2,\dots$

$1,2,0,0,2,\dots$

Jak widzimy, po kilku iteracjach za każdym razem otrzymujemy ciąg, którego pierwszym elementem jest 1. Naturalnym pytaniem jest, czy dzieje się tak dla dowolnie wielu iteracji.

Sformułowanie hipotezy

Niech $(p_n)$ oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych. Możemy z nim stowarzyszyć ciąg $(d_n^1),$ gdzie $d_n^1=|p_{n+1}-p_n|.$ Mając ciąg $(d_n^k),$ określamy ciąg $(d_n^{k+1}),$ przyjmując $d_n^{k+1}=|d_{n+1}^k-d_n^k|.$ Hipoteza Gilbreatha stanowi, że $d_1^k=1$ dla każdej liczby naturalnej $k.$

Problem pozostaje nierozwiązany do dzisiaj, choć w 1993 roku Andrew Odlyzko sprawdził ją dla $k⩽346065536839$.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].