Twierdzenie Seiferta-van Kampena

Twierdzenie Seiferta-van Kampena w topologii algebraicznej pozwala wyrazić grupę podstawową sumy spójnej zbiorów otwartych w zależności od grup podstawowych poszczególnych składników.

Treść twierdzenia

Niech $X$ będzie łukowo spójną przestrzenią topologiczną będącą sumą zbiorów otwartych $U_1$ oraz $U_2$ takich, że $x_0\in U_1\cap U_2,$ gdzie $x_0$ jest punktem bazowym wszystkich grup podstawowych wspomnianych w twierdzeniu. Niech $j_i:U_i\hookrightarrow X$ będą włożeniami. Wtedy grupa podstawowa sumy $U_1\cup U_2$ jest produktem wolnym grup podstawowych ${\pi }_1(U_1,x_o)$ oraz ${\pi }_1(U_2,x_o)$ z amalgamacją wzdłuż ${\pi }_1(U_1\cap U_2,x_o)$ oraz przemienny jest diagram

Plik:VanKampen-01.png gdzie odwzorowania $i_{\alpha },j_{\alpha }$ są dla $\alpha \in \{1,2\}$ indukowane przez stosowne włożenia, zaś naturalny homomorfizm $k$ jest izomorfizmem.

Szczególne przypadki: ${\pi }_1(U_1)=0$

Jeśli ${\pi }_1(U_1)=0$ wtedy ${\pi }_1(X)={\pi }_1(U_2)/{\pi }_1(U_1\cap U_2),$ co oznacza że doklejenie ściągalnej przestrzeni topologicznej powoduje że wynikowa grupa podstawowa jest grupą ilorazową z klasami równoważności danymi przez ściągalne pętle w części wspólnej $U_1$ i $U_2.$

Szczególne przypadki: ${\pi }_1(U_1\cap U_2)=0$

Jeśli ${\pi }_1(U_1\cap U_2)=0$ (na przykład kiedy $U_1\cap U_2$ jest ściągalna) wtedy produkt wolny z amalgamacją upraszcza się do produktu wolnego grup podstawowych. Ten szczególny przypadek po odpowiednich przekształceniach prowadzi do twierdzenia van Kampena o bukietach.

Twierdzenie van Kampena o bukietach

Pokrewne twierdzenie, które nie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Seiferta-van Kampena (punkt nie jest zbiorem otwartym), zachodzi dla bukietów.

Niech $X$ będzie bukietem przestrzeni $A$ oraz $B,$ tj. $X=A\vee B.$ Wtedy zachodzi następujący izomorfizm grup podstawowych zaczepionych w punkcie bazowym bukietu:

${\pi }_1(X)\cong {\pi }_1(A)*{\pi }_1(B).$

Czyli grupa podstawowa bukietu jest produktem wolnym grup podstawowych składników bukietu.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę