Reguła LaSalle’a

Reguła LaSalle’a (znana również jako reguła Barbaszina-Krasowskiego-LaSalle’a lub reguła Krsowskiego-LaSalle’a) – kryterium asymptotycznej stabilności autonomicznych (także nieliniowych) układów dynamicznych.

Wersja globalna

Niech autonomiczny układ dynamiczny będzie dany przez:

$\dot{𝐱}=f(𝐱),$

gdzie $𝐱$ – jest wektorem wektor zmiennych, oraz:

$f(\mathrm{𝟎})=\mathrm{𝟎}.$

Jeśli istnieje funkcja $V(x)\in C^1,$ taka że:

$\dot{V}(𝐱)⩽0$ dla wszystkich $𝐱,$

wtedy zbiór graniczny każdej trajektorii jest zawarty w $Q,$ gdzie $Q$ to suma trajektorii zawartych w zbiorze $\{𝐱:\dot{V}(𝐱)=0\}.$

Jeśli ponadto dla funkcji $V$ mamy:

$V(𝐱)>0,$ dla wszystkich $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$

$V(\mathrm{𝟎})=0$

i jeśli $Q$ nie zawiera trajektorii innych niż $𝐱(t)=\mathrm{𝟎}$ for $t⩾0,$ wtedy środek układu współrzędnych jest asymptotycznie stabilny.

Dodatkowo, jeśli $V$ jest nieograniczona z rosnącą normą, tj.

$V(𝐱)\to \mathrm{\infty },$ gdy $\Vert 𝐱\Vert \to \mathrm{\infty },$

wtedy środek jest globalnie asymptotycznie stabilny.

Wersja lokalna

Jeśli:

$V(𝐱)>0,$ dla $𝐱\ne \mathrm{𝟎}$

$\dot{V}(𝐱)⩽0$

zachodzi tylko dla $𝐱$ w pewnym otoczeniu $\mathrm{𝟎}\in D,$ oraz zbiór

$\{\dot{V}(𝐱)=0\}\bigcap D$

nie zawiera trajektorii układu poza trajektorią trywialną, wtedy lokalna wersja twierdzenia mówi, że początek układu współrzędnych jest asymptotycznie stabilny.

Oryginalne publikacje

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę