Gwiazda Pełczyńskiego

Gwiazda Pełczyńskiego (gwiazda naprężeń) – graficzna reprezentacja stanu naprężenia, opracowana przez profesora Politechniki Warszawskiej Tadeusza Pełczyńskiego. Gwiazda Pełczyńskiego pozwala znaleźć wykreślnie wartości naprężeń głównych i maksymalnych naprężeń stycznych.

Konstrukcja

Konstrukcja gwiazdy Pełczyńskiego

Skonstruowanie gwiazdy Pełczyńskiego możliwe jest po wyznaczeniu niezmienników stanu naprężenia, oznaczonych przez ${\sigma }_{\text{m}},$ ${\sigma }_{\text{H}}$ oraz $\omega$. Konstrukcja polega na wyrysowaniu w układzie $\sigma -\tau$ okręgu o środku w punkcie $({\sigma }_{\text{m}},0)$ i promieniu $\frac{2}{3}{\sigma }_{\text{H}}.$ Następnie z punktu $({\sigma }_{\text{m}},0)$ do okręgu prowadzone są trzy odcinki nachylone pod kątami odpowiednio $\omega ,$ $\omega -120^{\circ },$ $\omega -240^{\circ }.$ Rzutowanie na oś poziomą punktów wyznaczonych przez przecięcie odcinków oraz okręgu definiuje wartości naprężeń głównych.

Teoria

Poszukiwane naprężenia główne są pierwiastkami równania

Szablon:Wzór

w którym

${\sigma }_{\text{m}}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y+{\sigma }_z}{3},$

$N_1={\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y{\sigma }_z+{\sigma }_z{\sigma }_x-{\tau }_{xy}^2-{\tau }_{yz}^2-{\tau }_{zx}^2,$

Gwiazdy naprężeń dla najprostszych przypadków obciążenia

$N_2={\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_z+2{\tau }_{xy}{\tau }_{yz}{\tau }_{zx}-{\sigma }_x{\tau }_{yz}^2-{\sigma }_y{\tau }_{zx}^2-{\sigma }_z{\tau }_{xy}^2.$

Równanie Szablon:LinkWzór można rozwiązać stosując podstawienie

Szablon:Wzór

Wtedy równanie Szablon:LinkWzór przyjmuje postać

$S^3\underset{a}{\underbrace{-(3{\sigma }_{\text{m}}^2-N_1)}}S\underset{b}{\underbrace{-(2{\sigma }_{\text{m}}^3-{\sigma }_{\text{m}}{N}_1+N_2)}}=0.$

Pierwiastkami powyższego równania są

Szablon:Wzór

przy czym

$\cos (3\omega )=\frac{-b}{2\sqrt{{(-\frac{a}{3})}^3}}=\frac{2{\sigma }_{\text{m}}^3-{\sigma }_{\text{m}}{N}_1+N_2}{2\sqrt{{\left(\frac{3{\sigma }_{\text{m}}^2-N_1}{3}\right)}^3}},$

oraz

${\sigma }_{\text{H}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{({\sigma }_x-{\sigma }_y{)}^2+({\sigma }_y-{\sigma }_z{)}^2+({\sigma }_z-{\sigma }_x{)}^2+6({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2+{\tau }_{zx}^2)}.$

Po podstawieniu Szablon:LinkWzór do Szablon:LinkWzór otrzymano

Szablon:Wzór

Należy zaznaczyć, że ${\sigma }_{\text{m}},$ ${\sigma }_{\text{H}}$ oraz $\omega$ są niezmiennikami stanu naprężenia.

Przy przyjęciu układu współrzędnych, zgodnego z kierunkami naprężeń głównych, niezmienniki opisane są wzorami

$\begin{array}{cc}& {\sigma }_{\text{m}}=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3}{3},\\ & {\sigma }_{\text{H}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2},\end{array}$

natomiast

$\cos (\omega )=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_{\text{m}}}{\frac{2}{3}{\sigma }_{\text{H}}}.$

Postać wzorów Szablon:LinkWzór definiuje bezpośrednio graficzną interpretację, przedstawioną powyżej.

Zobacz też

• koło Mohra
• Tadeusz Pełczyński