Średnia geometryczno-harmoniczna

Średnia geometryczno-harmoniczna dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $g$ i $h$ – wspólna granica ciągów $(g_n),(h_n)$ określonych rekurencyjnie:

$g_0=g,h_0=h$

$g_{n+1}=\sqrt{g_n{h}_n},h_{n+1}=\frac{2}{\frac{1}{g_n}+\frac{1}{h_n}}$

Granica ta istnieje dla dowolnych $g,$ $h$ rzeczywistych dodatnich, a dowód tego faktu jest analogiczny do dowodu istnienia średniej arytmetyczno-geometrycznej.

Przykład

Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb $g_0=24$ i $h_0=6,$ najpierw należy wyliczyć wartości średnich:

$\begin{array}{cc}{g}_1& =\sqrt{24\cdot 6}=12\\ h_1& =\frac{2}{\frac{1}{24}+\frac{1}{6}}=9,6\end{array}$

i dalej rekurencyjnie:

$n$	$g_n$	$h_n$
0	24	6
1	12	9,6
2	10,733126291999…	10,666666666666…
3	10,699844879622…	10,699793280161…
4	10,699819079861…	10,699819079829…
5	10,699819079845…	10,699819079845…

Własności

Przy oznaczeniach:

• $AGM(a,b)$ – średnia arytmetyczno-geometryczna liczb $a$ i $b,$
• $GHM(a,b)$ – średnia geometryczno-harmoniczna liczb $a$ i $b$

zachodzą następujące zależności:

$GHM(x,y)=\frac{1}{AGM(\frac{1}{x},\frac{1}{y})},$

$GHM(\lambda a,\lambda b)=\lambda GHM(a,b),\text{dla}\lambda >0,$

$\min (x,y)⩽\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}⩽GHM(x,y)⩽\sqrt{xy}⩽AGM(x,y)⩽\frac{x+y}{2}⩽\max (x,y).$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld