Kryterium Schlömilcha

Szablon:Inne znaczenia Kryterium Schlömilcha – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

Szablon:Wzór

o wyrazach dodatnich. Niech ponadto

$S_n=n\cdot \ln \frac{a_n}{a_{n+1}}(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_n>1$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność $S_n⩽1,$ to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Przykład zastosowania

Szablon:Osobny artykuł Kryterium Schlömilcha pozwala stwierdzać rozbieżność niektórych szeregów których zbieżności nie rozstrzyga kryterium Raabego. Na przykład kryterium Raabego nie rozstrzyga o rozbieżności szeregu

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^{n-1}[(n-1)!{]}^2}{[(2n-1)!!{]}^2},$

gdyż

$R_n=1+\frac{1}{4n}\to 1^{+}.$

Z drugiej jednak strony

$S_n=n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2})<1$

dla dostatecznie dużych $n$Szablon:Odn.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Niech

$a_n=\frac{(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!{]}^2}.$

W tym wypadku

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{n+4}{n^2+3n},$

a zatem ciąg $(S_n)$ maleje oraz jego granicą jest $1$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj