Twierdzenie Blichfeldta

Twierdzenie Blichfeldta – twierdzenie geometrii kombinatorycznej opublikowane w 1914 przez duńskiego matematyka, Hansa Fredericka Blichfeldta, które jest rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego o punktach kratowych; w szczególności twierdzenie Minkowskiego daje się wyprowadzić z twierdzenia BlichfeldtaSzablon:Odn.

Twierdzenie

Niech $f_1,\dots ,f_d$ będzie bazą w ${ℝ}^d$ oraz niech

$\mathrm{\Gamma }=\mathbb{Z}{f}_1+\dots +\mathbb{Z}{f}_d$

będzie kratą generowaną przez $f_1,\dots ,f_d.$ Jeżeli $A$ jest takim zbiorem mierzalnym w ${ℝ}^d,$ że

${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(A)>{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(G_{\mathrm{\Gamma }}),$

gdzie ${\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}_d(G_{\mathrm{\Gamma }})$ oznacza $d$-wymiarową miarę Lebesgue’a (objętość) równoległościanu generowanego przez wektory $f_1,\dots ,f_d,$ to istnieją takie dwa różne punkty $a,b\in A,$ że

$a-b\in \mathrm{\Gamma }.$

Bibliografia

• Juliusz Wójcik, O zastosowaniu geometrii liczb do przedstawień liczb naturalnych przez sumy kwadratów, „Wiadomości Matematyczne”, 10 (1975), s. 19–31.

Literatura dodatkowa

• C.D. Olds, Anneli Lax, Giuliana Davidoff, Giuliana P. Davidoff, The Geometry of Numbers, Cambridge University Press, 2000.