Indykator bankructwa

Indykator bankructwa – proces stochastyczny wyrażający się wzorem:

$I(t)={𝕀}_{\{\tau ⩽t\}}$ dla $t⩾0,$ gdzie:

$I(t,\omega )=\{\begin{array}{cc}0,& \text{gdy }t<\tau (\omega )\text{ (przed bankructwem)},\\ 1,& \text{gdy }\tau (\omega )⩽t\text{ (po bankructwie)},\end{array}$

gdzie:

$\tau$ – moment bankructwa.

Ten proces ma niemalejące i prawostronnie ciągłe trajektorie i zmienia wartość z zera na jeden w momencie bankructwa. Indykator bankructwa jest wykorzystywany w ryzyku kredytowym do określenia kwoty jaką odzyska bank po bankructwie firmy, której udzielono kredyt.

Filtracja

Filtracja $({ℐ}_{𝓉}{)}_{t⩾0}$ generowana przez indykator bankructwa jest zdefiniowana wzorem:

${ℐ}_{𝓉}=\sigma (\{I(s):s\in [0,t]\}),$

gdzie:

${ℐ}_{𝓉}$ jest najmniejszym $\sigma$ – ciałem takim, że każde $I(s),s⩽t$ jest mierzalne. $I(t)$ jest ${ℐ}_{𝓉}$-mierzalne, więc $\tau$ jest momentem stopu:

$\{\tau ⩽t\}=\{I(t)=1\}\in {ℐ}_{𝓉}.$

Własności

Twierdzenie

$({ℐ}_{𝓉}{)}_{t⩾0}$ jest najmniejszą filtracją taką, że $\tau$ jest momentem stopu względem tej filtracji.

Dowód

Rozpatrzymy dowolną filtrację ${ℱ}_t,$ $\mathrm{\forall }t>0$ względem której $\tau$ jest momentem stopu. Z własności filtracji wiemy, że:

$\mathrm{\forall }s⩽t:\sigma (I(t))\subset {ℱ}_s\subset {ℱ}_t.$

Z definicji filtracji ${ℐ}_{𝓉}:$

${ℐ}_{𝓉}=\sigma (\{I(s):s\in [0,t]\})\subset \sigma ({ℱ}_t)={ℱ}_t.$

Pokazaliśmy, że ${ℐ}_t\subset {ℱ}_t,$ więc ${ℐ}_{𝓉}$ jest najmniejszą filtracją względem której $\tau$ jest momentem stopu.$◻$