Elipsoida Johna

Elipsoida Johna lub Löwnera-Johna – pojęcie z zakresu geometrii wypukłej i teorii przestrzeni Banacha wprowadzone przez Fritza Johna w 1948 roku.

Definicja

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech B_X oznacza kulę jednostkową w przestrzeni X. Elipsoidą Johna przestrzeni X nazywa się kulę względem metryki zadanej przez pewien iloczyn skalarny w X (hiperkula) zawartą w B_X o największej n-wymiarowej objętości

Istnienie elipsoidy Johna wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Jest ona ponadto wyznaczona jednoznacznieSzablon:Odn.

Lemat Dvoretzky’ego-Rogersa

Niech X będzie n-wymiarową przestrzenią unormowaną. Niech ρ_E oznacza normę euklidesową wprowadzoną przez elipsoidę Johna w X (tj. funkcjonał Minkowskiego elipsoidy Johna przestrzeni X). Istnieje wówczas taka baza ortonormalna (e_j)_{j ≤ n} w (X, ρ_E), że

$\Vert e_j{\Vert }_X⩾2^{-\frac{n}{n-j+1}}(j⩽n).$

W szczególności,

$\Vert e_j{\Vert }_X⩾\frac{1}{4}$

dla j ≤ n / 2 + 1Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę