Test Shapiro-Wilka

Test Shapiro–Wilka – standardowy test statystyczny, wykorzystywany do testowania normalności danych. Został opublikowany w 1965 roku przez Samuela Shapiro i Martina Wilka. Szablon:Spis treści

Teoria

Załóżmy, że pobraliśmy próbę $x_1,\dots ,x_n$ i chcemy sprawdzić czy pochodzi z rozkładu normalnego. Hipoteza zerowa i alternatywna w teście Shapiro–Wilka ma następującą postać:

$H_0:$ Próba pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym

$H_1:$ Próba nie pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym.

W celu przeprowadzenia testu wykorzystuje się statystykę $W:$

• Uporządkuj obserwacje niemalejąco: $y_1⩽y_2⩽\dots ⩽y_n$
• Oblicz: $𝑆𝑆𝐸=\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$
• Jeżeli $n$ jest parzyste, niech $m=\frac{n}{2},$ w przeciwnym razie $m=\frac{n-1}{2}$
• Używając stabelaryzowanych wartości $a_i$ oblicz $b=\sum _{i=1}^m{a}_i(y_{n+1-i}-y_i)$
• Oblicz statystykę $W=\frac{b^2}{𝑆𝑆𝐸}$
• Porównaj wynik ze stabelaryzowanymi wartościami dla odpowiednich poziomów ufności i liczebności próby.

Przykład

W celu zilustrowania procesu, załóżmy, że mamy następujące obserwacje:

$x_1=6,x_2=1,x_3=-4,x_4=8,x_5=-2,x_6=5,x_7=0.$

• Sortując otrzymujemy: $y_1=-4,y_2=-2,y_3=0,y_4=1,y_5=5,y_6=6,y_7=8.$
• Obliczając $𝑆𝑆𝐸=\sum _{i=1}^7(y_i-\overline{y}{)}^2=118$
• Dla wartości $n=7$ z odpowiednich tabel otrzymujemy kolejne wartości: $a_7=0,6233,a_6=0,3031,a_5=0,1401,a_4=0,0000$ oraz wartość $b=0,6233(8+4)+0,3031(6+2)+0,1401(5-0)=10,6049$
• Wartość statystyki $W=\frac{10,6049^2}{118}=0,9530$

Wartość teoretycznej statystyki $W$ na poziomie istotności $5\mathrm{\%}$ i $n=7$ wynosi $0,803.$ Ponieważ ta wartość jest mniejsza niż otrzymana z testu, nie mamy powodu odrzucić hipotezy, że próba pochodzi z rozkładu normalnego.

Porównanie z innymi testami

Analiza porównawcza przy użyciu metod Monte Carlo pokazała, że test Shapiro–Wilka ma największą moc spośród testów badających normalność: testu Andersona–Darlinga, testu Kołmogorowa–Smirnowa czy testu Lillieforsa.

Modyfikacja testu

Oryginalnie zaproponowane podejście ograniczało się do próbek poniżej 50 obserwacji. Royston w 1995 roku zaproponował algorytm AS R181, który mógł być wykorzystany w zakresie $3⩽n⩽5000.$

Zobacz też

• test Andersona-Darlinga
• test Jarque-Bera
• test Kołmogorowa-Smirnowa
• test Lillieforsa

Bibliografia

• S.S. Shapiro, M.B. Wilk., An Analysis of Variance Test for Normality, Biometrika, Vol. 52, No. 3/4. (Dec., 1965), s. 591–611
• Nornadiah Mohd Razali, Yap Bee Wah, Power comparisons of Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors and Anderson-Darling tests, Journal of Statistical Modeling and Analytics, Vol. 2 No. 1, 21–33, 2011

Linki zewnętrzne

• Tabele wartości dla testu Shapiro–Wilka Szablon:Lang