Współkońcowość

W matematyce, zwłaszcza w teorii mnogości, współkońcowość $\mathrm{cf}(\kappa ).$ zbioru częściowo uporządkowanego $\kappa$ to najmniejsza moc zbioru współkońcowego w $\kappa .$

Notacja

Dla liczby porządkowej $\alpha$ przez $O(\alpha )$ oznaczać będziemy wyznaczony przez nią odcinek początkowy, czyli zbiór mniejszych od $\alpha$ liczb porządkowych

$O(\alpha )=\{\lambda \in \text{Ord}:\lambda <\alpha \}.$

Definicja

Załóżmy, że $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną. Najmniejszą liczbę kardynalną $\lambda$ taką, że $\kappa$ jest sumą $\lambda$ swoich podzbiorów, z których każdy jest mocy mniejszej niż $\kappa ,$ nazwiemy współczynnikiem współkońcowości liczby $\kappa$ lub jej współkońcowością. Współczynnik współkońcowości oznacza się $\mathrm{cf}(\kappa ).$ Wyrażoną w ten sposób zależność można opisać również następująco:

$\mathrm{cf}(\kappa )=\min (|𝒜|:𝒜\subset 𝒫(\kappa )\wedge {\mathrm{\forall }}_{A\in 𝒜}|A|<\kappa \wedge \bigcup 𝒜=\kappa ).$

Liczby kardynalne $\kappa ,$ dla których $\mathrm{cf}(\kappa )=\kappa$ nazywamy regularnymi. Pozostałe liczby kardynalne są singularne.

Charakteryzacja

Załóżmy, że $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną. Powiemy, że zbiór $X\subset O(\kappa )$ jest ograniczony w $\kappa ,$ jeśli istnieje liczba porządkowa $\alpha <\kappa$ taka, że $X\subset O(\alpha ).$ W przeciwnym razie powiemy, że zbiór $X$ jest współkońcowy w $\kappa .$ Współkońcowość liczby kardynalnej równa jest mocy najmniejszego zbioru współkońcowego w $\kappa .$

Przykłady

Oczywistym przykładem regularnej liczby kardynalnej jest ${\mathrm{\aleph }}_0.$

Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.

Dla każdej liczby porządkowej $\alpha$ zachodzi następująca zależność:

$\mathrm{cf}({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }& \text{dla }\alpha =\beta +1\\ \mathrm{cf}(\alpha )& \text{dla }\alpha \text{ granicznych}\end{array}$