Dynamika budowli

Dynamika budowli zajmuje się obliczaniem konstrukcji budowlanych poddanych obciążeniom zmiennym w czasie. Obciążenia takie wywoływane są na przykład

• pracą maszyn w halach fabrycznych,
• ruchem drogowym na mostach i przejazdach,
• rytmicznymi ruchami tancerzy w salach balowych,
• odstrzałami eksploatacyjnymi w kopalniach,
• ruchami podłoża gruntowego w czasie trzęsień ziemi,
• uderzeniami fal tsunami.

Z punktu widzenia mechaniki, konstrukcje budowlane są układami o nieskończonej liczbie stopni swobody. Obliczanie takich modeli, zwłaszcza dla układów złożonych, prowadzi jednak do skomplikowanych układów równań różniczkowych cząstkowych. Z tego powodu, dla celów obliczeniowych stosuje się najczęściej prostsze modele o skończonej, ale czasem bardzo dużej, liczbie stopni swobody. Badanie ruchu takich modeli sprowadza się do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych o postaci

Szablon:Wzór

gdzie dla przyjętego modelu o n stopniach swobody

$M(n\times n)$ – macierz bezwładności mas,

$C(n\times n)$ – macierz tłumienia,

$K(n\times n)$ – macierz sztywności,

$\overrightarrow{Q}(n\times 1)$ – wektor przemieszczeń (forma drgania),

$\overrightarrow{P}(n\times 1)$ – wektor sił zewnętrznych (wymuszających).

Elementy $m_{ij},c_{ij},k_{ij}$ macierzy $M,C,K$ są reakcjami $i$-tego więzu kinematycznego odpowiednio na jednostkowe przyspieszenie, prędkość i przemieszczenie $j$-tego więzu. Macierze $M,K$ są symetryczne.

Obliczanie elementów macierzy $M,C,K$ stanowi trudny problem, który dzisiaj najczęściej rozwiązuje się za pomocą metody elementów skończonych. Jej podstawę stanowi teoria aproksymacji pozwalająca w sposób przybliżony opisać stan przemieszczenia układu za pomocą odpowiednich wielomianów. Są one budowane jako funkcje skończonej liczby przemieszczeń $Q_j(t),j=1,2,\dots ,n$ występujących w wyróżnionych punktach węzłowych konstrukcji. Jeżeli jest ona układem prętowym, to węzły są punktami połączeń poszczególnych prętów. W konstrukcjach płytowych, tarczowych i powłokowych o ciągłym rozkładzie masy, węzły są punktami fikcyjnymi, rozmieszczonymi w odpowiedni sposób na powierzchni środkowej.

Ważną charakterystyką dynamiczną układu drgającego o n stopniach swobody jest jego widmo częstości drgań własnych

$\mathrm{\Omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n){\omega }_1⩽{\omega }_2⩽\dots ⩽{\omega }_n.$

Częstości te obliczane są na podstawie równania opisującego drgania swobodne (nietłumione) badanego układu

$M\ddot{\overrightarrow{Q}}(t)+K\overrightarrow{Q}(t)=0.$

Równanie to ma niezerowe rozwiązania

${\overrightarrow{Q}}_i(t)={\overrightarrow{A}}_i\sin {\omega }_{i}t\text{dla}i=1,2,\dots ,n$

wtedy, gdy spełniony jest warunek

Szablon:Wzór

Na to jednak aby istniały ${\overrightarrow{A}}_i\ne 0\text{ dla }i=1,2,\dots ,n$ musi zostać spełnione równanie

$Det(K-{\omega }_i^{2}M)=0,$

służące do wyznaczania częstości ${\omega }_i$ drgań własnych układu.

Na podstawie znanych już wartości ${\omega }_i$ oblicza się formy drgań własnych ${\overrightarrow{A}}_i$ z równania Szablon:LinkWzór. Dla dowolnych $({\omega }_i,{\overrightarrow{A}}_i)\text{ i }({\omega }_k,{\overrightarrow{A}}_k)$ możemy wtedy napisać następujące tożsamości

${\omega }_i^2{\overrightarrow{A}}_k^{T}M{\overrightarrow{A}}_i\equiv {\overrightarrow{A}}_k^{T}K{\overrightarrow{A}}_i,{\omega }_k^2{\overrightarrow{A}}_i^{T}M{\overrightarrow{A}}_k\equiv {\overrightarrow{A}}_i^{T}K{\overrightarrow{A}}_k.$

Po dokonaniu transpozycji w drugiej tożsamości, uwzględnieniu, że $M^T=M\text{oraz}{K}^T=K,$ po odjęciu stronami i przyjęciu, że ${\omega }_i\ne {\omega }_k,$ otrzymujemy warunek wzajemnej ortogonalności form drgań własnych

${\overrightarrow{A}}_i^{T}M{\overrightarrow{A}}_k=0\text{dla}i\ne k.$

Wyznaczenie wszystkich par $({\omega }_i,{\overrightarrow{A}}_i)\text{ dla }i=1,2,\dots ,n$ nosi nazwę analizy modalnej.

Przy projektowaniu konstrukcji poddanych obciążeniom harmonicznym o postaci $\overrightarrow{P}(t)=\overrightarrow{F}\sin \theta t$ najważniejsze znaczenie ma zazwyczaj znajomość dolnego odcinka widma, gdyż drgania o najniższych częstościach wywołać jest najłatwiej. W przypadku, gdy $\theta \sim {\omega }_i,$ powstaje zjawisko rezonansu na częstości ${\omega }_i$ objawiające się nadmiernymi przemieszczeniami konstrukcji. Można go uniknąć zmieniając jej widmo dzięki przeprojektowaniu.

Gdy działające obciążenie zewnętrzne $\overrightarrow{P}(t)$ jest dowolną funkcją czasu, równanie ruchu Szablon:LinkWzór poddaje się numerycznemu całkowaniu, aby otrzymać odpowiedź $\overrightarrow{Q}(t).$ Do tego celu opracowano szereg programów komputerowych.