Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej

Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące o zerowaniu się pochodnej funkcji różniczkowalnej osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.

Definicja

Ustalmy $f:(a,b)\to ℝ.$

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie $x_0\in (a,b)$ oraz $f(x_0)=\max \{f(x):x\in (a,b)\}$ lub $f(x_0)=\min \{f(x):x\in (a,b)\},$ to

$f^{\prime }(x_0)=0.$

Dowód

Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość granicy prawostronnej i lewostronnej ilorazu różnicowego. Funkcja z założenia jest różniczkowalna w punkcie $x_0,$ więc granice jednostronne są sobie równe.

Dowód w przypadku, gdy $f(x_0)$ = max $f(x).$

Ponieważ

$f(x_0)⩾f(x),$

więc

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}⩽0$

i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji

$f{\text{'}}_{+}(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ $⩽0.$

Podobnie wykazujemy

$f{\text{'}}_{-}(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ $⩾0.$

Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ $f{\text{'}}_{+}(x_0)⩽0\wedge f{\text{'}}_{-}(x_0)⩾0,$ więc

$f^{\prime }(x_0)=f{\text{'}}_{+}(x_0)=f{\text{'}}_{-}(x_0)=0.$

Przypadku, gdy $f(x_0)$ = min $f(x),$ dowodzi się analogicznie.

Zastosowanie

Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie twierdzenia Rolle’a.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Fermat theorem Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].