Indeks punktu względem krzywej

Szablon:Nie mylić z Indeks punktu $a$ względem krzywej $C$ – liczba okrążeń punktu $z$ wokół punktu $a,$ gdy punkt $z$ obiega raz krzywą $C.$ Zwyczajowo każde okrążenie jest traktowane jako „dodatnie” bądź „ujemne” w zależności od tego, czy obieg odbywa się odpowiednio w kierunku przeciwnym lub zgodnym do ruchu wskazówek zegara.

Definicja

Obiekt poruszający się po krzywej okrąża osobę stojącą pośrodku dwukrotnie.

Funkcja $I(C,a)$ dla krzywej zamkniętej $C$ nie przechodzącej przez punkt $a,$ jest zdefiniowana jako

$I(C,a)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{dz}{z-a}$

nazywana jest indeksem punktu $a$ względem krzywej $C.$

Przykłady i własności

Funkcja indeksu przyjmuje tylko wartości całkowite; rośnie bądź maleje odpowiednio, gdy parametryzacja krzywej jest na danym przedziale zgodna i niezgodna z orientacją płaszczyzny zespolonej (mówi się wtedy o dodatniej i ujemnej orientacji krzywej).

Indeks punktu $0$ względem zorientowanego dodatnio okręgu $K$ o promieniu $r>0$ $(K:z=r{e}^{it},0⩽t⩽2k\pi$ dla $k\in {\mathbb{Z}}_{+})$ wynosi:

$I(K,0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{K}{\oint }\frac{dz}{z}=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2k\pi }{\int }}\frac{ir{e}^{it}dt}{r{e}^{it}}=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2k\pi }{\int }}dt=k.$

Zobacz też

• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę