Redukcja wielomianu według modułu

Redukcja wielomianu według modułu – dla ustalonych $m,n\in \mathbb{N}$ i ustalonego $F(X_1,\dots ,X_n)\in \mathbb{Z}[X_1,\dots ,X_n],$ redukcją wielomianu $F$ według modułu $m$ nazywamy wielomian $\stackrel{\sim }{F}(X_1,\dots ,X_n)\in {\mathbb{Z}}_m[X_1,\dots ,X_n],$ który można otrzymać z wielomianu $F$ poprzez zastąpienie każdego ze współczynników wielomianu $F$ jego resztą z dzielenia przez $m$ oraz zastąpienie działań $+$ i $-$ odpowiednio działaniami: $\stackrel{+}{m}$ i $\stackrel{\cdot }{m}$ (dodawanie i mnożenie modulo m).

Redukcja według modułu $m$ równania $F(x_1,\dots ,x_n)=0$ o niewiadomych z pierścienia $\mathbb{Z}$ – równanie $\stackrel{\sim }{F}(x_1,\dots ,x_n)=0$ o niewiadomych z pierścienia ${\mathbb{Z}}_m,$ gdzie $\stackrel{\sim }{F}$ jest redukcją wielomianu $F$ według modułu $m$.

Jeżeli równanie $F(x_1,\dots ,x_n)=0$ ma rozwiązanie w pierścieniu $\mathbb{Z},$ to równanie $\stackrel{\sim }{F}(x_1,\dots ,x_n)=0$ ma rozwiązanie w pierścieniu ${\mathbb{Z}}_m$. Jeżeli równanie $\stackrel{\sim }{F}(x_1,\dots ,x_n)=0$ nie ma rozwiązań w pierścieniu ${\mathbb{Z}}_m,$ to równanie $F(x_1,\dots ,x_n)=0$ nie ma rozwiązań w pierścieniu $\mathbb{Z}$.

Przykład

Równanie $x^2+y^2=31z^2+15$ nie ma rozwiązań w pierścieniu $\mathbb{Z}.$ Aby to pokazać, wystarczy dokonać redukcji tego równania według modułu 8. Otrzymamy wtedy równanie $x^2+y^2=7z^2+7,$ gdzie wszystkie działania są działaniami modulo 8. Wszystkimi kwadratami w pierścieniu ${\mathbb{Z}}_8$ są liczby $0,1,4.$ Zatem wszystkie możliwe wartości wyrażenia $7z^2+7$ to $3,6,7.$ Jednak żadna z tych liczb nie może być sumą modulo 8 kwadratów liczb modulo 8. Zatem redukcja danego równania według modułu 8 nie ma rozwiązania w pierścieniu ${\mathbb{Z}}_8,$ a stąd wynika, że wyjściowe równanie nie ma rozwiązania w pierścieniu $\mathbb{Z}$.