Algebra Jiang-Su

Algebra Jiang-Su (oznaczana jest zwykle symbolem ℨ) – pierwszy przykład nuklearnej, prostej, stabilnie skończonej, C*-algebry z jedynką, która ma taką samą K-teorię jak algebra liczb zespolonych $ℂ.$ Algebra Jiang-Su jest obiektem istotnym z punktu widzenia programu klasyfikacji C*-algebr; algebra ℨ została skonstruowana przez Jiang Xinhuia and Su Hongbinga w 1999 roku. Algebra ℨ odgrywa podobną rolę w teorii C*-algebr do hiperskończonego faktora typu II₁ w teorii algebr von Neumanna.

Opis konstrukcji

Algebrę ℨ można opisać jako granicę prostą algebr $\mathrm{I}[m_0,m,m_1]$ opisanych niżej.

Algebry I[m₀, m, m₁]

Niech $m_0,m,m_1$ są takimi liczbami naturalnymi, że $m_0$ i $m_1$ dzielą $m$ oraz niech

$\mathrm{I}[m_1,m,m_2]=\{f\in C([0,1],M_m):f(0)\in M_{\frac{m}{m_0}},f(1)\in M_{\frac{m}{m_1}}\}.$

Wówczas $\mathrm{I}[m_0,m,m_1]$ jest C*-algebrą, która nie ma nietrywialnych rzutów wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $m_0$ i $m_1$ są względnie pierwsze.

K-teoria

Niech $A=\mathrm{I}[m_0,m,m_1].$ Wówczas

• $(K_0(A),K_0(A{)}^{+},[1_A])=(\mathbb{Z},\mathbb{N},\text{nwd}(m_0,m_1)),$
• $K_1(A)={\mathbb{Z}}_p,$ gdzie $p=m\cdot \text{nwd}(m_0,m_1)/(m_0{m}_1).$

gdzie:

$\text{nwd}$ – największy wspólny dzielnik.

W szczególności $A=\mathrm{I}[m_0,m,m_1]$ ma taką samą K-teorię jak $ℂ$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m_0$ i $m_1$ są względnie pierwsze.

Konstrukcja ℨ

Istnieje ciąg induktywny

$A_1\stackrel{{\varphi }_1}{⟶}{A}_2\stackrel{{\varphi }_2}{⟶}{A}_3\stackrel{{\varphi }_3}{⟶}\dots ,$

gdzie $A_n=\mathrm{I}[p_n,d_n,q_n],\text{nwd}(p_p,q_n)=1$ oraz odwzorowania ${\varphi }_{m,n}={\varphi }_{n-1}\circ ...\circ {\varphi }_{m+1}\circ {\varphi }_m:A_m\to A_n$ są postaci

${\varphi }_{m,n}(f)=u^{*}\left[\begin{array}{cccc}f\circ {\xi }_1& 0& \dots & 0\\ 0& f\circ {\xi }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & f\circ {\xi }_n\end{array}\right]u,$

przy czym $u$ jest pewną ciągłą drogą w grupie $U(d_n)$ macierzy unitarnych stopnia $d_n$ oraz $({\xi }_k{)}_{k⩽n}$ jest takim ciągiem ciągłych dróg w przedziale [0,1], że

$|{\xi }_i(x)-{\xi }_i(y)|⩽{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-m}(x,y\in [0,1],i⩽n).$

Algebra ℨ jest granicą induktywną powyższego ciągu przy czym jest ona jednoznaczna ze względu na dobór ciągu algebr $A_1,A_2,A_3,...$ jak wyżej.