Interpolacja Hermite’a

Interpolacja Hermite’a – interpolacja umożliwiająca znalezienie wielomianu przybliżającego według wartości

$y_1=f(x_1),y_2=f(x_2),\dots ,y_n=f(x_n)$

na $n$ danych węzłach $x_1,x_2,\dots ,x_n,$ oraz na wartościach pochodnych na wybranych węzłach

$f^{\prime }(x_1),f^{″}(x_1),\dots ,f^{(k_1)}(x_1),\dots ,f^{\prime }(x_n),\dots ,f^{(k_n)}(x_n).$

Węzeł zadany bez pochodnej jest węzłem pojedynczym, a węzeł z danymi pochodnymi $1,2,\dots ,k$ jest węzłem $k+1$-krotnym.

Funkcja $f(x)=\sin (x)+\cos (x)$ (czarny) i jej wielomian interpolacyjny (czerwony) obliczony na podstawie 5 danych węzłów podwójnych w przedziale $[1,4],$ wygenerowany dzięki programowi Mathematica

Algorytm

Algorytm jest podobny jak przy interpolacji Newtona. Kolumnę wypełnia się wszystkimi wartościami węzłów (jeżeli węzeł jest $k$-krotny, to umieszczamy go w tabeli $k$ razy).

$x_i$	$f(x_i)$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$
$x_2$	$f(x_2)$
$⋮$	$⋮$
$x_n$	$f(x_n)$

Następnie dopisuje się do każdej kolumny kolejne różnice dzielone, z tym wyjątkiem, że przy węzłach $k$-krotnych, $k>1,$ gdzie, de facto, nie można obliczyć różnicy dzielonej, podstawia się wartości kolejnych pochodnych na węzłach podzielone przez silnię ze stopnia pochodnej. (W tabeli przedstawiony jest $3$-krotny węzeł $x_1$).

$x_i$	$f(x_i)$	$f[x_{i-1},x_i]$	$f[x_{i-2},x_{i-1},x_i]$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f[x_0,x_1]$
$x_1$	$f(x_1)$	$f^{\prime }(x_1)$	$f[x_0,x_1,x_1]$
$x_1$	$f(x_1)$	$f^{\prime }(x_1)$	$\frac{f^{″}(x_1)}{2!}$
$x_2$	$f(x_2)$	$f[x_1,x_2]$	$f[x_1,x_1,x_2]$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$x_n$	$f(x_n)$	$f[x_{n-1},x_n]$	$f[x_{n-2},x_{n-1},x_n]$

Tabelę uzupełnia się do końca jak przy interpolacji Newtona, uznając ciągłe pochodne na węzłach wielokrotnych jako różnice dzielone rzędu drugiego.

$x_i$	$f(x_i)$	$f[x_{i-1},x_i]$	$f[x_{i-2},x_{i-1},x_i]$	$f[x_{i-3},x_{i-2},x_{i-1},x_i]$	$\cdots$	$f[x_{i-n},\dots ,x_i]$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f[x_0,x_1]$
$x_1$	$f(x_1)$	$f^{\prime }(x_1)$	$f[x_0,x_1,x_1]$
$x_1$	$f(x_1)$	$f^{\prime }(x_1)$	$\frac{f^{″}(x_1)}{2!}$	$f[x_0,x_1,x_1,x_1]$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$
$x_n$	$f(x_n)$	$f[x_{n-1},x_n]$	$f[x_{n-2},x_{n-1},x_n]$	$f[x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1},x_n]$	$\cdots$	$f[x_0,\dots ,x_n]$

Definiując $a_i$ jako wartości na przekątnej, $i=1,2,3,\dots ,m,$ gdzie $m$ to suma krotności węzłów, otrzymuje się wielomian:

$w(x)=\sum _{i=0}^m{a}_i\prod _{j=0}^{i-1}(x-{\overline{x}}_j),$

gdzie ${\overline{x}}_i=x_1,x_1,\dots ,x_1,x_2,x_2,\dots ,x_2,\dots ,x_n,$ przy czym każdy $k$-krotny węzeł występuje $k$ razy.

Przykład

Należy znaleźć wielomian interpolacyjny, przybliżający funkcję o zadanych węzłach dwukrotnych:

$\begin{array}{ccc}{x}_1=1& ,& x_2=3\\ f(x_1)=3& ,& f(x_2)=5\\ f^{\prime }(x_1)=2& ,& f^{\prime }(x_2)=6\end{array}$

Zapisuje się wartości w tabeli:

$x_i$	$f(x_i)$
$1$	$3$
$1$	$3$
$3$	$5$
$3$	$5$

Następnie w miejsce powtarzającego się węzła wstawia się wartości pochodnej, a w pozostałe miejsca (w tym przypadku jedno) wstawia się odpowiednią różnicę dzieloną:

$x_i$	$f(x_i)$	$R_2(x_i)$
$1$	$3$	–
$1$	$3$	$2$
$3$	$5$	$1$
$3$	$5$	$6$

Następnie uzupełnia się do końca tabelę:

$x_i$	$f(x_i)$	$R_2(x_i)$	$R_3(x_i)$	$R_4(x_i)$
$1$	$3$	–	–	–
$1$	$3$	$2$	–	–
$3$	$5$	$1$	$-\frac{1}{2}$	–
$3$	$5$	$6$	$\frac{5}{2}$	$\frac{3}{2}$

Zatem otrzymuje się wielomian:

$w(x)=3+2(x-1)-\frac{1}{2}(x-1{)}^2+\frac{3}{2}(x-1{)}^2(x-3)=\frac{3}{2}{x}^3-8x^2+\frac{27}{2}x-4.$

Łatwo sprawdzić, że interpoluje on dane punkty:

$w(1)=\frac{3}{2}-8+\frac{27}{2}-4=3$

$w^{\prime }(1)=\frac{9}{2}-16+\frac{27}{2}=2$

$w(3)=\frac{3}{2}\cdot 27-8\cdot 9+\frac{27}{2}\cdot 3-4=5$

$w^{\prime }(3)=\frac{9}{2}\cdot 9-16\cdot 3+\frac{27}{2}=6.$

Zobacz też

• interpolacja wielomianowa
• postać Lagrange’a wielomianu
• postać Newtona wielomianu

Bibliografia

• Szablon:Cytuj stronę