Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa

Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa mówiące, że wszystkie zdarzenia w $\sigma$-ciele ogonowym rodziny niezależnych $\sigma$-ciał są pewne lub niemożliwe.

Sformułowanie

Niech $(X_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będzie ciągiem zmiennych niezależnych. Niech ${ℱ}_n$ oznacza $\sigma$-ciało generowane przez zmienną $X_n.$ Niech ${ℱ}_{n,\mathrm{\infty }}$ będzie $\sigma$-ciałem generowanym przez zmienne $(X_k{)}_{k=n}^{\mathrm{\infty }}.$

${ℱ}_{\mathrm{\infty }}=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cap }}{ℱ}_{n,\mathrm{\infty }}$

nazywamy $\sigma$-ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia $A\in {ℱ}_{\mathrm{\infty }}$ jest $\mathbb{P}(A)=1$ albo $\mathbb{P}(A)=0.$

Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.

Dowód

$\sigma$-ciało ogonowe jest $\sigma$-ciałem jako przecięcie $\sigma$-ciał. $\sigma$-ciała ${ℱ}_{n+1,\mathrm{\infty }}$ i ${𝒢}_n=\sigma ({ℱ}_1,\dots ,{ℱ}_n)$ są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności $({ℱ}_n).$ $A\in {ℱ}_{n+1,\mathrm{\infty }},$ więc jest niezależne od ${𝒢}_n$ dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od $\sigma ({𝒢}_1,{𝒢}_2,\dots )=\sigma ({ℱ}_1,{ℱ}_2,\dots )={ℱ}_{1,\mathrm{\infty }}.$ Ponieważ $A\in {ℱ}_{1,\mathrm{\infty }}$ zachodzi:

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A\cap A)=\mathbb{P}(A{)}^2,$

zatem $\mathbb{P}(A)=1$ lub $\mathbb{P}(A)=0,$ bo tylko te liczby spełniają $x^2=x.$

Przykłady zdarzeń z $\sigma$-ciała ogonowego

• wystąpi nieskończenie wiele zdarzeń ze zdarzeń niezależnych $A_1,A_2,\dots$ (Lematy Borela-Cantellego)
• szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$ jest zbieżny
• ciąg $\frac{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n}{n}$ jest ograniczony
• ciąg $\frac{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n}{n}$ jest zbieżny (mocne Prawo wielkich liczb)

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę