Moduł z gradacją

Moduł M nad pierścieniem R nazywamy modułem z gradacją lub g-modułem, lub R-g-modułem, jeśli istnieje taki ciąg $\{M^n\}$ podmodułów modułu M, że $M=\underset{n}{⨁}{M}^n.$ Ciąg $\{M^n\}$ nazywamy gradacją modułu M.

Homomorfizm g-modułów

Niech $M,\bar{M}$ będą dwoma g-modułami, a $\{M^n\}$ i $\{\stackrel{n}{\stackrel{‾}{M}}\}.$ Homomorfizmem stopnia r $M\to \bar{M}$ tych g-modułów nazywamy taki R-homomorfizm $f:M\to \bar{M},$ że $f(M^n)\subset \stackrel{n+r}{\bar{M}}$ dla każdego n.

Stąd wynika, że homomorfizm g-modułów jest wyznaczony przez ciąg R-homomorfizmów $f^n:M^n\to \stackrel{n+r}{\bar{M}}.$ Na odwrót, każdy ciąg R-homomorfizmów $f^n:M^n\to \stackrel{n+r}{\bar{M}}$ wyznacza homomorfizm stopnia r g-modułów.

Własności

• Złożenie g-homomorfizmów g-modułów jest g-homomorfizmem, którego stopień jest sumą stopni homomorfizmów składanych.
• Homomorfizm tożsamościowy $1_M:M\to M$ jest g-homomorfizmem stopnia 0.

Podmoduły

Podmodułem g-modułu $M$ (nad pierścieniem R) o gradacji $\{M^n\}$ nazywamy taki podmoduł $\bar{M}$ R-modułu $M$ z gradacją $\{\stackrel{n}{\stackrel{‾}{M}}\},$ że

$\bar{M}=\underset{n}{⨁}(\bar{M}\cap M^n).$

Wynika stąd, że ciąg $\{\bar{M}\cap M^n)\}$ jest gradacją g-modułu $\bar{M}$.

Własności

• Jeśli $M^{\prime }$ i $M^{″}$ są podmodułami g-modułu $M,$ to $M^{\prime }\cap M^{″}$ jest również podmodułem g-modułu M.
• Jeśli $M^{\prime }$ i $M^{″}$ są podmodułami g-modułu $M,$ to $M^{\prime }+M^{″}$ jest również podmodułem g-modułu M.

Gradacja indukowana

Załóżmy, że $M^{\prime }$ jest podmodułem g-modułu $M.$ Gradację $\{\stackrel{n}{\stackrel{‾}{M}}\}$ w module ilorazowym $\bar{M}=M/M^{\prime },$ zdefiniowaną następująco:

$\stackrel{n}{\stackrel{‾}{M}}=M^n/(M^{\prime }\cap M^n)$

nazywamy gradacją indukowaną przez gradację modułu $M$.