Układ singularny

Układ uogólniony o równaniach stanu w postaci:

$𝐄\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t)+𝐁𝐮(t),$

$𝐲(t)=𝐂𝐱(t)+𝐃𝐮(t),$

gdzie:

• zmienne: wejściowe $𝐮(t)\in {ℝ}^m,$ wyjściowe $𝐲(t)\in {ℝ}^p$ i zmienne stanu $𝐱(t)\in {ℝ}^n$ oraz
• macierz stanu $𝐀\in {ℝ}^{qn},$ macierz wyjść $𝐂\in {ℝ}^{pn},$ macierz wejść $𝐁\in {ℝ}^{qm},$ macierz przenoszenia $𝐃\in {ℝ}^{pm}$ oraz $𝐄\in {ℝ}^{qn},$

nazywany jest układem singularnym, jeśli rząd $𝐄=r<n.$ W przypadku szczególnym, gdy $q=n,$ wyżej podany układ jest singularny, jeżeli $det𝐄=0$ (tzn. $𝐄$ jest macierzą osobliwą).

Rozkład na podukłady

Istnieją takie macierze nieosobliwe $𝐏,𝐐\in {ℝ}^{nn},$ że układ singularny opisany równaniami podanymi na wstępie (przy założeniu, że pęk macierzy $(𝐄,𝐀)$ jest regularny), można rozłożyć na:

• układ wolny (standardowy)

$\dot{{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}}(t)={𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}(t)+{𝐁}_{\mathrm{𝟏}}𝐮(t),$

${𝐲}_{\mathrm{𝟏}}(t)={𝐂}_{\mathrm{𝟏}}{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}(t)+{𝐃}_{\mathrm{𝟏}}𝐮(t)$

• i układ szybki (ściśle singularny)

$𝐍\dot{{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}}(t)={𝐱}_{\mathrm{𝟐}}(t)+{𝐁}_{\mathrm{𝟐}}𝐮(t),$

${𝐲}_{\mathrm{𝟐}}(t)={𝐂}_{\mathrm{𝟐}}{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}(t)+{𝐃}_{\mathrm{𝟐}}𝐮(t),$

gdzie $𝐍\in {ℝ}^{n_2{n}_2}.$

Przykład układu singularnego

Niech dany będzie układ z proporcjonalno-różniczkowym sprzężeniem zwrotnym opisany równaniami:

$\dot{𝐱}(t)=𝐀𝐱(t)+𝐁𝐮(t),$

$𝐲(t)=𝐂𝐱(t),$

$𝐮(t)=𝐯(t)-{𝐅}_{\mathrm{𝟏}}𝐲(t)-{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}\dot{𝐲}(t),$

gdzie:

• zmienne: wejściowe $𝐮(t)\in {ℝ}^m,$ wyjściowe $𝐲(t)\in {ℝ}^p$ i zmienne stanu $𝐱(t)\in {ℝ}^n,$ $𝐯(t)\in {ℝ}^m$ nowym wektorem wymuszenia oraz
• macierz stanu $𝐀\in {ℝ}^{qn},$ macierz wyjść $𝐂\in {ℝ}^{pn},$ macierz wejść $𝐁\in {ℝ}^{qm},$ ${𝐅}_{\mathrm{𝟏}},{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}\in {ℝ}^{qp}.$

Podstawiając drugie z powyższych równań do trzeciego, a otrzymane w ten sposób wyrażenie do pierwszego, otrzymujemy:

$\mathbf{[}𝐈\mathbf{+}𝐁{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}𝐂\mathbf{]}\dot{𝐱}(t)=\mathbf{[}𝐀\mathbf{-}𝐁{𝐅}_{\mathrm{𝟏}}𝐂\mathbf{]}𝐱(t)+𝐁𝐯(t).$

Układ opisany powyższym równaniem (oraz równaniem $𝐲(t)=𝐂𝐱(t)$) jest układem singularnym, jeśli macierz $𝐄\mathbf{=}\mathbf{[}𝐈\mathbf{+}𝐁{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}𝐂\mathbf{]}$ jest macierzą osobliwą.