Tożsamość Apoloniusza

Tożsamość Apoloniusza – tożsamość zachodząca w przestrzeniach prehilbertowskich.

Jeśli $x,y,z$ są wektorami przestrzeni prehilbertowską, to zachodzi równość:

$||w-u|{|}^2+||w-v|{|}^2=\frac{1}{2}||u-v|{|}^2+2||w-\frac{1}{2}(u+v)|{|}^2.$

Dowód

Przyjmując $x=w-\frac{1}{2}(u+v)$ oraz $y=\frac{1}{2}(u-v),$ otrzymujemy $x+y=w-v,$ $x-y=w-u.$ Wyciągając skalar $\frac{1}{4}=(\frac{1}{2}{)}^2$ przed pierwszą normę po prawej stronie, tezę otrzymujemy z tożsamości równoległoboku.

Interpretacja geometryczna

Ilustracja dowodu tożsamości Apoloniusza

W trójkącie ABC suma kwadratów dwóch boków trójkąta (AC i BC) jest równa sumie połowy kwadratu trzeciego boku (AB) i podwojonemu kwadratowi środkowej (CD) padającej na ten bok.

Również dowód można zinterpretować geometrycznie jako rozważenie równoległoboku DBC'C powstałego przez przesunięcie środkowej o odcinek DB. Wówczas ze względu na podobieństwo trójkątów $AC=D{C}^{\prime }.$