Funkcje szybko malejące

Funkcję $\phi :{ℝ}^n\to ℝ$ (lub $\phi :{ℝ}^n\to ℂ$) nazywamy funkcją szybko malejącą w nieskończoności, jeśli spełnia dwa warunki:

1. $\phi \in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n),$
2. Dla dowolnych wielowskaźników $\alpha ,\beta$ funkcja $x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi (x)$ jest ograniczona na ${ℝ}^n.$

Drugi warunek można zastąpić warunkiem następującym:

• Dla dowolnego $p=0,1,2,\dots$ i dowolnego wielowskaźnika $\beta$ funkcja $(1+|x{|}^2{)}^p{\partial }^{\beta }\phi (x)$ jest ograniczona na ${ℝ}^n.$

Funkcje szybko malejące w nieskończoności tworzą przestrzeń wektorową, którą oznaczamy $𝒮({ℝ}^n).$ Jeśli są to funkcje o wartościach rzeczywistych, to jest to przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych $ℝ,$ a jeśli są to funkcje o wartościach zespolonych, to jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych $ℂ.$

W przestrzeni tej topologia jest określona przez zbieżność ciągu:

Ciąg $\{{\phi }_n\}\subset 𝒮({ℝ}^n)$ jest zbieżny do zera, gdy:

• Dla dowolnych wielowskaźników $\alpha ,\beta$ ciąg $\{x^{\alpha }{\partial }^{\beta }{\phi }_n\}$ jest jednostajnie zbieżny do zera na ${ℝ}^n.$

Warunek ten można zastąpić warunkiem następującym:

• Dla dowolnego $p=0,1,2,\dots$ i dowolnego wielowskaźnika $\beta$ ciąg $\{(1+|x{|}^2{)}^p{\partial }^{\beta }{\phi }_n\}$ jest jednostajnie zbieżny do zera na ${ℝ}^n.$

Własności

• $𝒮({ℝ}^n)\subset L^1({ℝ}^n).$
• Różniczkowanie jest odwzorowaniem ciągłym $𝒮({ℝ}^n)\to 𝒮({ℝ}^n).$
• Jeżeli $1⩽q⩽\mathrm{\infty },$ to $𝒮({ℝ}^n)\subset L^q({ℝ}^n).$
• Transformacja Fouriera jest izomorfizmem $𝒮({ℝ}^n)$ na siebie.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę