Łańcuch kinematyczny

Łańcuch kinematyczny – część mechanizmu w postaci kilku połączonych ze sobą członów tworzących jedną lub wiele par kinematycznych^[1], realizujący zdefiniowane przeniesienie ruchu.

Łańcuchy kinematyczne dzielą się na:

kinematyczne płaskie,
kinematyczne przestrzenne.

Własności ogólne

Podstawową cechą łańcucha kinematycznego jest jego ruchliwość. Ruchliwość określa ile stopni swobody posiada łańcuch, to znaczy ile różnych typów ruchu jest w stanie przenieść.

Ruchliwość $w$ może być:

$w = 0$ lub $w < 0$	– łańcuch sztywny
$w = 1$	– łańcuch normalny
$w > 1$	– łańcuch swobodny

Ruchliwość łańcucha oblicza się ze wzoru strukturalnego (kryterium Czebszowa–Grüblera–Kutzbacha):

dla łańcucha przestrzennego:

w = 6 (n - 1) - p_{1} - 2 p_{2} - 3 p_{3} - 4 p_{4} - 5 p_{5},

uwaga: od liczby ogniw

n

odejmuje się 1 w przypadku, gdy nie zalicza się do niej nieruchomej podstawy.

dla łańcucha płaskiego:

w = 3 n - p_{4} - 2 p_{5},

gdzie:

n

– liczba ogniw,

p_{n}

– ilość par kinematycznych

n

-tej klasy.

Interpretacja ruchliwości obliczonej ze wzoru strukturalnego wymaga pewnego doświadczenia, w szczególności gdy wskazuje on, iż łańcuch kinematyczny jest sztywny. Taka sytuacja jest oczywista w przypadku a. W pewnych przypadkach jednak, przy szczególnej geometrii, łańcuch teoretyczne sztywny może przenosić ruch (przypadek b). Strukturalnie jest on identyczny z a, lecz występują w nim trzy geometrycznie identyczne człony co umożliwia ruch łańcucha. Para kinematyczna, która powinna łańcuch usztywniać (wskazana czerwoną strzałką) jest węzłem biernym. Projektując mechanizm z węzłami biernymi, konstruktor musi zdawać sobie sprawę, że zużycie elementów mechanizmu, prowadzące do drobnych zmian w ich geometrii, może doprowadzić do usztywnienia mechanizmu. Łańcuch kinematyczny sztywny, aczkolwiek teoretycznie takim jest w praktyce jest stosowany jako konstrukcja służąca wyłącznie do przenoszenia obciążenia, a nie ruchu i nie jest przedmiotem teorii mechanizmów i maszyn, lecz wytrzymałości materiałów i teorii konstrukcji.

Łańcuch kinematyczny o ruchliwości równej jeden jest najczęstszym przypadkiem mechanizmu. Rodzaj ruchu członu czynnego determinuje wtedy ruch członu biernego i wszystkich członów pośredniczących. Rysunek c pokazuje typowy czworobok przegubowy o ruchliwości równej jeden.

W pewnych przypadkach wymagane jest by mechanizm miał większą ruchliwość. Typowym tego przykładem jest przekładnia obiegowa d, lub mechanizm kreślarski e. Istnieją przypadki, że w bardzo odpowiedzialnych mechanizmach powiększa się ruchliwość normalnie zabezpieczoną bezpiecznikiem, by uniknąć samousztywnienia się mechanizmu w wyniku zużycia lub odkształcenia elementów. Gdy sytuacja taka zaistnieje bezpiecznik uruchamia dodatkową parę. Mechanizm może wtedy stracić swoją funkcjonalność, lecz unika się wtedy trwałego zniszczenia mechanizmu lub środowiska w jakim pracuje.

Analiza ruchliwości

Badanie ruchliwości łańcucha kinematycznego może być przeprowadzone analitycznie. Ograniczając analizę do przypadku łańcuchów płaskich (dwuwymiarowych) założymy, że jego ogniwa są prętami prostymi, odkształcalnymi osiowo i połączonymi ze sobą w węzłach za pomocą idealnych przegubów. Do rozważań wprowadzimy dwa wektory

𝐝 = [d_{1}, d_{2}, \dots, d_{m}]

– liniowo niezależnych przemieszczeń węzłowych i

𝐬 = [s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}]

– wydłużeń/skróceń ogniw spowodowanych przemieszczeniami węzłowymi.

W celu uproszczenia zapisu wektory będziemy zapisywali albo wierszowo albo kolumnowo jeżeli nie będzie to prowadziło do nieporozumień.

Analiza ruchliwości węzłów łańcucha polega na badaniu rozwiązań układu równań

(a)

𝐀 𝐝 = 𝐬 .

Macierz zgodności przemieszczeń węzłowych $𝐀,$ występująca w tym równaniu, może być utworzona na podstawie interpretacji jej kolumn. Rozważmy mianowicie węzeł łańcucha, w którym występują dwa przemieszczenia $d_{i}$ i $d_{j}$ (rys. 1a-b). Związek (a) przyjmuje dla tego przypadku postać

𝐀 𝐝 = 𝐬 \to [\begin{matrix} s_{k i} & s_{k j} \\ s_{l i} & s_{l j} \\ s_{m i} & s_{m j} \end{matrix}] [\begin{matrix} d_{i} \\ d_{j} \end{matrix}] = [\begin{matrix} s_{k} \\ s_{l} \\ s_{m} \end{matrix}] .

Elementy $s_{k i}, s_{l i}, s_{m i}$ są wydłużeniami/skróceniami odpowiednio $k$ -tego, $l$ -tego i $m$ -tego elementu ogniwa łańcucha, spowodowanymi przez $i$ -te przemieszczenie węzłowe $d_{i} = 1$ (rys. 1a). Analogicznie elementy $s_{k j}, s_{l j}, s_{m j}$ są skutkami spowodowanymi przez przemieszczenie węzłowe $d_{j} = 1$ (rys. 1b). Elementy $s_{k}, s_{l}, s_{m}$ są sumarycznymi skutkami równoczesnego działania przemieszczeń $d_{i}$ i $d_{j} .$

Jeżeli wydłużeniom ogniw przypiszemy znak plus, a skróceniom – minus, to na podstawie rys. 1a-b otrzymamy

s_{k i} = + \cos (k, i), s_{l i} = - \cos (l, i), s_{m i} = - \cos (m, i),

– (rys. 1a),

s_{k j} = + \cos (k, j), s_{l j} = - \cos (l, j), s_{m j} = + \cos (m, j),

– (rys. 1b).

W rzeczywistym łańcuchu kinematycznym jego ogniwa mają niezmienną długość, a to znaczy, że $𝐬 = 𝟎 .$ Badaniu ruchliwości łańcucha kinematycznego należy więc poddać nie układ równań (a), lecz (b)

(b)

𝐀 𝐝 = 𝟎 .

Z algebry liniowej wiadomo, że liczba liniowo niezależnych niezerowych rozwiązań takiego układu równań jest równa defektowi badanej macierzy. Pod tym terminem rozumiemy różnicę pomiędzy stopniem, a rzędem macierzy. W przypadku macierzy prostokątnych o rozmiarach $m \times n$ stopniem nazwiemy mniejszą z liczb $m$ i $n .$

Przykład 1

Dla przykładu rozważymy układ pokazany na rys. 2a^[2].

Na podstawie rys. 2b-f kolejno budujemy kolumny macierzy $𝐀 :$

𝐀 𝐝 = [\begin{matrix} \sin (α) & - \cos (α) & 0 & 0 & 0 \\ - \cos (β) & \sin (β) & \cos (β) & - \sin (β) & 0 \\ 0 & 0 & - \sin (γ) & - \cos (γ) & 0 \\ 0 & 0 & - \cos (β) & \sin (β) & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ d_{4} \\ d_{5} \end{matrix}] = 0 .

Łatwo można sprawdzić, że przyjęcie $d_{1} = 1$ pozwala wyznaczyć jednoznacznie wartości pozostałych niewiadomych przemieszczeń węzłowych, które wynoszą:

$d_{2} = tg (α),$	$d_{3} = \frac{\cos (β) - tg (α) \sin (β)}{\cos (β) + tg (γ) \sin (β)},$
$d_{4} = - d_{3} tg (γ),$	$d_{5} = \cos (β) - tg (α) \sin (β) .$

Dla łańcucha o pionowych „słupkach” $(α = γ = 0)$ otrzymuje się

d_{1} = d_{3} = 1, d_{2} = d_{4} = 0, d_{5} = \cos (β) .

Dla łańcucha o „słupkach” równoległych $(γ = - α)$ jest

d_{1} = d_{3} = 1, d_{2} = tg (α), d_{5} = \cos (β) - tg (α) \sin (β) .

Dla łańcucha z „ryglem” poziomym $(β = 0)$

d_{1} = d_{3} = 1, d_{2} = tg (α), d_{4} = - tg (γ), d_{5} = 1 .

Przykład 2

W przypadku łańcuchów wielokrotnie przesuwnych sprawa nieco się komplikuje co zilustrujemy na przykładzie łańcucha „piętrowego” z rys. 3aSzablon:R. Wygenerowana kolumnowo macierz zgodności przemieszczeń węzłowych $𝐀$ ma postać

𝐀 = [\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

Rozwiązując układ równań $𝐀 𝐝 = 𝟎$ za pomocą algorytmu Gaussa-Jordana z pełnym wyborem elementów wiodących stwierdzamy, że ma on rozwiązanie

d_{1} = d_{3}, d_{5} = d_{7}, d_{2} = d_{4} = d_{6} = d_{8} = 0 .

Oznacza to, że przemieszczenia $d_{3}$ i $d_{7}$ mogą spełniać rolę zmiennych swobodnych. Dzięki temu otrzymujemy w tym przypadku dwa rozwiązania podstawowe (bazowe)

d_{𝟏}^{*} = [1 0 1 0 0 0 0 0], d_{𝟐}^{*} = [0 0 0 0 1 0 1 0] .

Dowolna kombinacja liniowa tych rozwiązań o postaci

d_{𝟏}^{*} = α d_{𝟏}^{*} + β d_{𝟐}^{*}, | α | + | β | \neq 0,

jest nowym rozwiązaniem równania $𝐀 𝐝 = 𝟎 .$

Na rys. 3b-c pokazano mechaniczne interpretacje rozwiązań bazowych $d_{𝟏}^{*}$ i $d_{𝟐}^{*},$ natomiast rys. 3d przedstawia przykładowe nowe rozwiązanie w postaci najprostszej kombinacji liniowej

d_{𝟑}^{*} = d_{𝟏}^{*} + d_{𝟐}^{*} = [1 0 1 0 1 0 1 0] .

Przykład 3

Generowanie macierzy zgodności przemieszczeń węzłowych $𝐀$ można przeprowadzić według takiego algorytmu postępowania, który bez żadnych zmian pozwala analizować ruchliwość zarówno łańcuchów płaskich, jak i przestrzennych. Podstawą tego algorytmu jest spostrzeżenie, że zmiana długości $s_{i j}$ ogniwa $i$ wywołana jednostkowym przemieszczeniem węzła $j$ wyraża się prostym iloczynem skalarnym

(c)

s_{i j} = \pm {\vec{e}}_{i} \cdot {\vec{d}}_{j} = \pm \cos (i, j),

w którym przez ${\vec{e}}_{i}$ oznaczono wersor kierunku ogniwa, a przez ${\vec{d}}_{j}$ wersor kierunku przemieszczenia węzłowego.

Znak we wzorze (c) przypiszemy według następującego kryterium:

(A) – gdy ogniwo

i

ma kierunek „do węzła”

j,

wtedy we wzorze (c) obowiązuje znak plus. Dla ogniwa skierowanego „od węzła” przypiszemy znak minus. To kryterium znakowania we wzorze (c) wymaga przyporządkowania każdemu ogniwu

i

konkretnego wersora kierunku

{\vec{e}}_{i} .

W celu uproszczenia zapisu będziemy operować tylko tymi wektorami dwuwymiarowymi, które mają co najmniej jedną współrzędną niezerową (rys. 2a).

I tak dla łańcucha z przykładu 1 mamy

{\vec{e}}_{1} = [\sin (α), - \cos (α)], {\vec{e}}_{2} = [\cos (β), - \sin (β)],

{\vec{e}}_{3} = [\sin (γ), \cos (γ)], {\vec{e}}_{4} = [\cos (β), - \sin (β)]

oraz

{\vec{d}}_{1} = [1, 0], {\vec{d}}_{2} = [0, 1], {\vec{d}}_{3} = [1, 0], {\vec{d}}_{4} = [0, 1], {\vec{d}}_{5} = [\cos (β), - \sin (β)] .

Na podstawie wzoru (c) otrzymujemy

𝐀 = [\begin{matrix} + {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{1} & + {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{2} & 0 & 0 & 0 \\ - {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{1} & - {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{2} & + {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{3} & + {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{4} & 0 \\ 0 & 0 & - {\vec{e}}_{3} \cdot {\vec{d}}_{3} & - {\vec{e}}_{3} \cdot {\vec{d}}_{4} & 0 \\ 0 & 0 & - {\vec{e}}_{4} \cdot {\vec{d}}_{3} & - {\vec{e}}_{4} \cdot {\vec{d}}_{4} & + {\vec{e}}_{4} \cdot {\vec{d}}_{5} \end{matrix}] .

Po obliczeniu iloczynów skalarnych możemy stwierdzić, że otrzymany wynik jest identyczny z uzyskanym w przykładzie 1.

Stosując to wektorowe podejście przeprowadzimy teraz analizę łańcucha przestrzennego z rys. 4a. Jedyna różnica będzie polegać tylko na tym, że wektory ${\vec{e}}_{i}$ i ${\vec{d}}_{j}$ będą teraz miały po trzy współrzędne.

Współrzędne wersorów dla poszczególnych ogniw można obliczyć na podstawie geometrii układu określonej wysokością $\overline{O S} = L$ i połową przekątnej kwadratowej podstawy $\overline{O A} = L .$

{\vec{e}}_{1} = [- 1 / 2 1 / 2 \sqrt{2} / 2], {\vec{e}}_{2} = [- 1 / 2 - 1 / 2 \sqrt{2} / 2],

{\vec{e}}_{3} = [1 / 2 - 1 / 2 \sqrt{2} / 2], {\vec{e}}_{4} = [1 / 2 1 / 2 \sqrt{2} / 2],

{\vec{d}}_{1} = [1 0 0], {\vec{d}}_{2} = [0 1 0], {\vec{d}}_{3} = [0 0 1], {\vec{d}}_{4} = [1 0 0],

{\vec{d}}_{5} = [0 1 0], {\vec{d}}_{6} = [1 0 0], {\vec{d}}_{7} = [0 1 0] .

Elementy macierzy $𝐀$ obliczamy na podstawie wzoru (c) z przypisaniem znaków według kryterium (A):

(d)

𝐀 = [\begin{matrix} - 1 / 2 & 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 / 2 & - 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0 & 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

Rozważymy teraz kilka różnych przypadków:

Przypadek 1

Załóżmy, że $d_{4} = d_{5} = d_{6} = d_{7} = 0 .$ Oznacza to, że węzły B i C są unieruchomione i układ równań $𝐀 𝐝 = 𝟎$ ma w tym przypadku postać

𝐀 = [\begin{matrix} - 1 / 2 & 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 \\ - 1 / 2 & - 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}] = 𝟎 .

Łatwo można sprawdzić, że istnieje taki minor $𝐌 (3 \times 3)$ macierzy $𝐀,$ że $Det (𝐌) \neq 0 .$ Wynika stąd wniosek, że jedynymi rozwiązaniami równania $𝐀 𝐝 = 𝟎$ są w tym przypadku $d_{1} = d_{2} = d_{3} = 0 .$ Oznacza to, że unieruchomienie węzłów B i C powoduje unieruchomienie całego łańcucha (brak ruchliwości).

Przypadek 2

Uwzględnimy teraz występowanie w węzłach B i C przemieszczeń tylko w kierunku osi $0 x_{2}$ tzn. przyjmiemy, że $d_{4} = d_{6} = 0 .$ Wynika stąd taka postać układu równań

(e)

𝐀 = [\begin{matrix} - 1 / 2 & 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0 & 0 \\ - 1 / 2 & - 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 1 / 2 & 0 \\ 1 / 2 & 1 / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \\ d_{5} \\ d_{7} \end{matrix}] = 𝟎 .

Przyjmijmy, że zostało wywołane przemieszczenie $d_{5} = 1 .$ Przyjęcie to umożliwia jednoznaczne rozwiązanie układu równań (e)

𝐝 = [d_{1} d_{2} d_{3} d_{5} d_{7}] = [0 1 / 2 - \sqrt{2} / 4 1 1],

co oznacza, że łańcuch ma jeden stopień swobody ruchu.

Przypadek 3

Przy tym samym założeniu co w przypadku 2, tzn. że $d_{4} = d_{6} = 0$ wymusimy przemieszczenie $d_{3} = 1 .$ I tym razem istnieje jednoznaczne rozwiązanie

𝐝 = [d_{1} d_{2} d_{3} d_{5} d_{7}] = [0 - \sqrt{2} 1 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}] .

Obydwa rozwiązania z przypadków 2 i 3 różnią się tylko stałym mnożnikiem $- 2 \sqrt{2}$ co tylko potwierdza podobieństwo obu stanów przemieszczenia w układzie o jednym stopniu swobody ruchu.

Algorytm alternatywny

Przytoczymy teraz inny, statyczny sposób generowania macierzy $𝐀 .$ Skorzystamy w tym celu z równań równowagi węzłów wyciętych z łańcucha, które można zapisać w postaci

(f)

𝐁 𝐒 = 𝐃,

przy czym

𝐒 = [S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}]

– jest wektorem sił osiowych w ogniwach, a

𝐃 = [D_{1}, D_{2}, \dots, D_{m}]

– wektorem sił węzłowych.

Dla przykładu rozważymy równanie równowagi sił działających na wycięty węzeł $W$ (rys. 5a) w kierunku określonym przez jego wersor ${\vec{d}}_{i} = 1 .$ Równanie to otrzymamy sumując rzuty na ten kierunek wszystkich sił $S_{α}, α \in (k, l, m) .$

D_{i} = + ({\vec{d}}_{i} \cdot {\vec{e}}_{k}) S_{k} - ({\vec{d}}_{i} \cdot {\vec{e}}_{l}) S_{l} - ({\vec{d}}_{i} \cdot {\vec{e}}_{m}) S_{m} = s_{i k} S_{k} - s_{i l} S_{l} - s_{i m} S_{m} .

Podobnie mamy dla kierunku ${\vec{d}}_{j}$ (rys. 5b)

D_{j} = + ({\vec{d}}_{j} \cdot {\vec{e}}_{k}) S_{k} - ({\vec{d}}_{j} \cdot {\vec{e}}_{l}) S_{l} - ({\vec{d}}_{j} \cdot {\vec{e}}_{m}) S_{m} = s_{j k} S_{k} - s_{j l} S_{l} - s_{j m} S_{m} .

Dla łańcucha o $n$ ogniwach i $m$ liniowo niezależnych przemieszczeniach węzłowych macierz $𝐁$ możemy zapisać w postaci

𝐁 = [\begin{matrix} {\vec{d}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{1} & {\vec{d}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} & \dots & {\vec{d}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{n} \\ {\vec{d}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{1} & {\vec{d}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{2} & \dots & {\vec{d}}_{2} \cdot {\vec{e}}_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ {\vec{d}}_{m} \cdot {\vec{e}}_{1} & {\vec{d}}_{m} \cdot {\vec{e}}_{2} & \dots & {\vec{d}}_{m} \cdot {\vec{e}}_{n} \end{matrix}],

która jednak nie uwzględnia znakowania określonego przez kryterium (A).

Analogicznie możemy napisać na podstawie wzoru (c)

𝐀 = [\begin{matrix} {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{1} & {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{2} & \dots & {\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{d}}_{m} \\ {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{1} & {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{2} & \dots & {\vec{e}}_{2} \cdot {\vec{d}}_{m} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ {\vec{e}}_{n} \cdot {\vec{d}}_{1} & {\vec{e}}_{n} \cdot {\vec{d}}_{2} & \dots & {\vec{e}}_{n} \cdot {\vec{d}}_{m} \end{matrix}] .

Wobec tego, że elementy $a_{i j}$ oraz $b_{i j}$ macierzy $𝐀$ i $𝐁$ spełniają związki

a_{i j} = {\vec{e}}_{i} \cdot {\vec{d}}_{j} = {\vec{d}}_{j} \cdot {\vec{e}}_{i} = b_{j i}

otrzymujemy istotny związek

𝐁^{T} = 𝐀

pozwalający generować elementy macierzy $𝐀$ na dwa równorzędne sposoby.

Zobacz też

rigging

Przypisy

Szablon:Przypisy

↑ A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.
↑ B. Olszowski, M. Radwańska, Mechanika budowli, t. 1, s. 147, Kraków 2010, Wyd. Politechniki Krakowskiej.

[1] A. Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1985.

[Olsz-2] B. Olszowski, M. Radwańska, Mechanika budowli, t. 1, s. 147, Kraków 2010, Wyd. Politechniki Krakowskiej.

[1]

[2]

Łańcuch kinematyczny

Spis treści

Własności ogólne

Analiza ruchliwości

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Algorytm alternatywny

Zobacz też

Przypisy

Menu nawigacyjne

Łańcuch kinematyczny

Własności ogólne

Analiza ruchliwości

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Algorytm alternatywny

Zobacz też

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj