Metoda Cayleya

Metoda Cayleya – w mechanice kwantowej popularna metoda numerycznego rozwiązywania równania Schrödingera zależnego od czasu polegająca na przybliżeniu propagatora w czasie poprzez łatwiejszy do obliczenia niż dokładny operator unitarny, tzn. tak aby operator przybliżony też nie zmieniał normy funkcji falowej.

Dla równania Schrödingera zależnego od czasu $(\hslash =1):$

$\hat{H}|\psi (t)⟩=i\frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩,$

funkcja falowa dla małych czasów będzie dana przez:

$|\psi (t+dt)⟩=e^{-i\hat{H}(t)dt}|\psi (t)⟩.$

Zauważamy

$U_1=e^{-i\hat{H}(t)dt}=1-i\hat{H}(t)dt+\hat{H}(t{)}^{2}d{t}^2/2+i\hat{H}(t{)}^{3}d{t}^3/6+...$

oraz

$U_2=\frac{1-i\hat{H}(t)dt/2}{1+i\hat{H}(t)dt/2}=1-i\hat{H}(t)dt+\hat{H}(t{)}^{2}d{t}^2/2+i\hat{H}(t{)}^{3}d{t}^3/4+...$

Jak widać powyższe operatory są równe do drugiego rzędu w $dt$ oraz operator $U_2$ jest z konstrukcji unitarny (jest ułamkiem) tak samo jak operator dokładny, tzn.

$U_2^{*}=U_2^{-1}.$

Używamy więc

$|\psi (t+dt)⟩=U_2|\psi (t)⟩$

Powyższy krok w przybliżeniu Cranka-Nicolson jest wtedy układem równań liniowych na funkcje $\psi (t+dt)$ w chwili czasu $t+dt,$ tzn.

$[1+i\hat{H}(t)dt/2]|\psi (t+dt)⟩=[1-i\hat{H}(t)dt/2]|\psi (t)⟩$

i jest powtarzany wielokrotnie numerycznie.