Wzór Kirchhoffa

Wzór Kirchhoffa – metoda rozstrzygania zagadnień ściśle związanych z tematem struny nieograniczonej. Nazwa pochodzi od Gustava Kirchhoffa.

Rozważmy funkcję $u=u(x,y,z,t)$ spełniającą równanie falowe w przypadku trzech zmiennych przestrzennych, tzn. równanie

$\mathrm{\Delta }u-\frac{1}{c^2}{u}_{tt}=-f(x,y,z,t).$

Niech punkt $M_0(x_0,y_0,z_0)$ należy do obszaru V ograniczonego powierzchnią S.

Wówczas można udowodnić, że wartość szukanej funkcji $u(M_0,t_0)$ daje się zapisać za pomocą następującego wzoru Kirchhoffa:

$u(M_0,t_0)=\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\iint }\{\frac{1}{r_{M{M}_0}}\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right]-[u]\frac{\partial u}{\partial n}\left(\frac{1}{r_{M{M}_0}}\right)+\frac{1}{c{r}_{M{M}_0}}[u_t]\frac{\partial r_{M{M}_0}}{\partial n}\}d{S}_M+\frac{1}{4\pi }\underset{V}{\iiint }\frac{[f]}{r_{M{M}_0}}d{V}_M,$

gdzie:

$r_{M{M}_0}$ jest odległością punktów $M$ i $M_0,$

$\frac{\partial }{\partial n}$ oznacza pochodną normalną zewnętrzną,

symbol $[F]$ oznacza, że wartość funkcji w nawiasach brana jest dla wartości $t=t_0-\frac{r_{M{M}_0}}{c}.$