Polilogarytm

Polilogarytm (funkcja Jonquière’a) – funkcja specjalna zdefiniowana w następujący sposób:

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_{\nu }(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^{\nu }}$.

Szereg ten jest zbieżny dla $|z|<1$ i dowolnego zespolonego $\nu .$ Z tego względu $z=1$ to punkt osobliwy dla każdego ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_{\nu }(z).$

Można także zdefiniować polilogarytm w sposób rekurencyjny:

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_1(z)=-\ln (1-z),$

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_n(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{n-1}(t)}{t}dt$

dla $n=2,3,4,\dots$

Uogólnieniem funkcji jest funkcja przestępna Lercha (ang. Lerch transcendent).

Niektóre własności

• ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_1(z)=-\ln (1-z)$
• ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(z)+{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(1-z)=\frac{1}{6}{\pi }^2-\ln z\ln (1-z)$
• ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(x^2)=2[{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(x)+{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(-x)]$
• ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(-1/x)+{\mathrm{L}\mathrm{i}}_2(-x)=-\frac{1}{6}{\pi }^2-\frac{1}{2}(\ln x{)}^2$
• Redukcja do funkcji ζ Riemanna:

  ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_{\nu }(1)=\zeta (\nu )$

• Redukcja do funkcji η Dirichleta:

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_{\nu }(-1)=-\eta (\nu )$

• Relacje z funkcja przestępną Lercha (ang. Lerch transcendent):

$L{i}_n(z)=z\mathrm{\Phi }(z,n,1)$