Norma operatorowa

Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami unormowanymi, to wzór

\begin{matrix} ‖ T ‖ & = \inf {c > 0 : ‖ T x ‖ ⩽ c ‖ x ‖ dla każdego x \in X} \end{matrix}

określa normę w przestrzeni $ℬ (X, Y)$ operatorów liniowych i ciągłych określonych na $X$ i wartościach w $Y .$

Zachodzą ponadto następujące równości

\begin{matrix} ‖ T ‖ & = \sup {‖ T x ‖ : x \in X, ‖ x ‖ ⩽ 1} \\ = \sup {‖ T x ‖ : x \in X, ‖ x ‖ = 1} \\ = \sup {\frac{‖ T x ‖}{‖ x ‖} : x \in X, x \neq 0}, \end{matrix}

przy czym ostatnie dwie mają sens w przypadku, gdy $X$ ma co najmniej jeden wymiar.

Zupełność przestrzeni operatorów

Przestrzeń $ℬ (X, Y)$ jest przestrzenią Banacha, gdy $Y$ jest przestrzenią BanachaSzablon:Odn.

Dowód. Niech

(T_{n})_{n = 1}^{\infty}

ℬ (X, Y) .

W szczególności,

(T_{n} x)_{n = 1}^{\infty}

jest ciągiem Cauchy’ego dla każdego elementu

x

przestrzeni

X,

ponieważ

‖ T_{n} x - T_{m} x ‖ ⩽ ‖ T_{n} - T_{m} ‖ ‖ x ‖ .

Używając zupełności

Y,

możemy zdefiniować przyporządkowanie

T : X \to Y

wzorem

T x : = \lim_{n \to \infty} T_{n} x .

W szczególności

T

jest operatorem liniowym, który jest punktową granicą ciągu

(T_{n})_{n = 1}^{\infty}

operatorów liniowych. Ponadto,

‖ T x ‖ ⩽ \sup_{n \in ℕ} ‖ T_{n} x ‖ ⩽ \sup_{n \in ℕ} ‖ T_{n} ‖ \cdot ‖ x ‖ < \infty,

z uwagi na to, że ciągi Cauchy’ego są ograniczone. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że operator

T

jest ograniczony. Dla danej liczby

ϵ > 0

istnieje takie

N,

że dla

n, m ⩾ N

zachodzi

‖ T_{n} - T_{m} ‖ < ϵ .

W szczególności

‖ T_{n} x - T_{m} x ‖ < ϵ

dla elementów

x

z przestrzeni

X,

dla których

‖ x ‖ ⩽ 1

oraz

n, m ⩾ N .

Ostatecznie także w tym przypadku

‖ T_{n} x - T x ‖ ⩽ ϵ,

co pokazuje, że ciąg

(T_{n})_{n = 1}^{\infty}

jest zbieżny do

T .