Wzór Blacka-Scholesa

Szablon:Integracja Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.

Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna

Niech:

$C$ – cena opcji kupna,

$S$ – aktualna cena instrumentu bazowego,

$X$ – cena rozliczenia opcji,

$T$ – termin wygaśnięcia opcji (liczony w latach),

$r$ – wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji (stawka wyrażona w skali roku),

$\mathrm{\Phi }(\dots )$ – dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego,

$\sigma$ – współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (ang. volatility).

$C=S\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln \frac{S}{X}+(r+\frac{{\sigma }^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}\right)-X{e}^{-rT}\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln \frac{S}{X}+(r-\frac{{\sigma }^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}\right).$

Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji sprzedaży

$P$ – cena opcji sprzedaży

$P=X{e}^{-rT}\mathrm{\Phi }\left(\frac{-\ln \frac{S}{X}-(r-\frac{{\sigma }^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}\right)-S\mathrm{\Phi }\left(\frac{-\ln \frac{S}{X}-(r+\frac{{\sigma }^2}{2})T}{\sigma \sqrt{T}}\right).$

Uzasadnienie wzoru

Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.

W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.

Cena rynkowa w chwili realizacji $S_T$ jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:

$E{(S_T-X)}^{+}=\underset{X}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(S_T-X)P(S_T)d{S}_T.$

Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu $T$ jest warta $e^{rT},$ wartość opcji jest $e^{rT}$ razy mniejsza od spodziewanego zysku:

$C=e^{-rT}\underset{X}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(S_T-X)P(S_T)d{S}_T=e^{-rT}(\underset{X}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{S}_{T}P(S_T)d{S}_T-\underset{X}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}XP(S_T)d{S}_T),$

gdzie $S_T$ – cena akcji w chwili $T$ – jest zmienną losową.

Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu

$Y_k=\ln \frac{S_{k+1}}{S_k}$

jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym $\sigma$ i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku – $N(r,{\sigma }^2).$

Tak więc

$S_T=S_0\times e^{\ln \frac{S_1}{S_0}}\times e^{\ln \frac{S_2}{S_1}}\times \dots \times e^{\ln \frac{S_T}{S_{T-1}}}=S_0{e}^{Y_0+\dots +Y_{T-1}}=S_0{e}^Y,$

gdzie $Y$ jest sumą $T$ niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład $N(Tr,T{\sigma }^2)$

$\begin{array}{cc}C& =e^{-rT}(\underset{S_T>X}{\int }{S}_{T}P(S_T)d{S}_T-X\underset{S_T>X}{\int }P(S_T)d{S}_T)\\ & =e^{-rT}(\underset{S_0{e}^Y>X}{\int }{S}_0{e}^{Y}P(Y)dY-X\underset{S_0{e}^Y>X}{\int }P(Y)dY)\\ & =e^{-rT}(\underset{Y>\ln \frac{X}{S_0}}{\int }{S}_0{e}^{Y}P(Y)dY-X\underset{Y>\ln \frac{X}{S_0}}{\int }P(Y)dY)\\ & =e^{-rT}(S_0\underset{\ln \frac{X}{S_0}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{Y}P(Y)dY-X\underset{\ln \frac{X}{S_0}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}P(Y)dY).\end{array}$

Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej $rT$ i wariancji ${\sigma }^{2}T.$ Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.

$Y$ możemy standaryzować, odejmując średnią $rT$ i dzieląc przez odchylenie standardowe $\sigma \sqrt{T},$ w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.

$\begin{array}{cc}C& =S_0{e}^{-rT}\underset{\ln \frac{X}{S_0}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^Y{P}_{N(rT,{\sigma }^{2}T)}(Y)dY-X{e}^{-rT}\underset{\ln \frac{X}{S_0}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{N(rT,{\sigma }^{2}T)}(Y)dY\\ & =S_0{e}^{-rT}\underset{\ln \frac{X}{S_0}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^Y{P}_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt{T}}\right)dY-X{e}^{-rT}\underset{\ln \frac{X}{S_0}}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt{T}}\right)dY.\end{array}$

Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:

$e^Y{P}_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt{T}}\right)=e^Y\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{1}{2}\frac{(Y-rT{)}^2}{{\sigma }^{2}T}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{1}{2}\frac{(Y-rT{)}^2+2{\sigma }^{2}TY}{{\sigma }^{2}T}}.$

Zobacz też

• instrumenty pochodne
• model Blacka-Scholesa