Równanie Grossa-Pitajewskiego

Równanie Grossa-Pitajewskiego – nieliniowe równanie modelowe na funkcję falową kondensatu Bosego-Einsteina. Ma formę podobną do równania Ginzburga-Landaua.

Kondensat Bosego-Einsteina (BEC) jest jednakowych gazem bozonów, które okupują jeden stan kwantowy, który w przybliżeniu może być przedstawiony w postaci iloczynu funkcji falowych poszczególnych cząstek, które są takie same. Każda z cząstek jest opisywana przez jednocząstkowe równanie Schrödingera. Oddziaływania między cząstkami w gazie rzeczywistym są opisywane przez ogólne wielocząstkowe równanie Schrödingera. Jeśli jednak gaz jest rzadki, można założyć, że cząstki oddziałują ze sobą, tylko gdy są w tym samym miejscu, co wraz z formalizmem drugiej kwantyzacji prowadzi do równania Grossa-Pitajewskiego.

Forma równania

Równanie ma postać równania Schrödingera z dodanym nieliniowym członem oddziaływania. Stała sprzężenia, g, jest proporcjonalna do długości rozpraszania dwóch oddziałujących bozonów:

$g=\frac{4\pi {\hslash }^2{a}_s}{m},$

gdzie $\hslash$ jest stałą Plancka, a $m$ jest masą każdego z bozonów. Hamiltonian ma postać:

$\mathscr{H}=\int {\psi }^{+}(\overrightarrow{r})\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (\overrightarrow{r})+{\psi }^{+}(\overrightarrow{r})V(𝐫)\psi (\overrightarrow{r})+\frac{1}{2}g{\psi }^{+}(\overrightarrow{r}){\psi }^{+}(\overrightarrow{r})\psi (\overrightarrow{r})\psi (\overrightarrow{r})d^{3}r,$

gdzie ${\psi }^{+}(\overrightarrow{r})$ są operatorami kreacji

Stosując przybliżenie, że każda cząstka okupuje stan $\mathrm{\Psi }(𝐫)$ otrzymujemy gęstość energii:

$ℰ=N\frac{{\hslash }^2}{2m}|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2+N(N-1)V(𝐫)|\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2+\frac{N}{2}g|\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^4,$

Dokonując wariacji ze względu na $\mathrm{\Psi }(𝐫{)}^{*}$ i dodając mnożnik Lagrange’a – potencjał chemiczny utrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskigo:

$\mu \mathrm{\Psi }(𝐫)=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐫)+g|\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2)\mathrm{\Psi }(𝐫)$

wraz z warunkiem na potencjał chemiczny:

$N=\int |\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2{d}^{3}r.$

Istnieje też równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu:

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(𝐫)}{\partial t}=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐫)+g|\mathrm{\Psi }(𝐫){|}^2)\mathrm{\Psi }(𝐫).$

Równanie to pozwala określić ewolucję kondensatu.

Rozwiązania

Rozwiązanie równania Grossa Pitajewskiego ze względu na jego nieliniowość jest trudnym problemem. W praktyce wykonuje się obliczenia numeryczne lub wykorzystuje rozmaite przybliżenia, rachunek zaburzeń. Występują szczególne rozwiązania:

• solitonowe („jasne” i „ciemne” solitony”)
• Thomasa-Fermiego (zaniedbany człon kinetyczny)

Bibliografia

• K. Sacha, Kondensat Bosego-Einsteina, Kraków 2004
• C.J. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). Szablon:ISBN.
• L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation (Clarendon Press, Oxford, 2003). Szablon:ISBN.