Intensywność umieralności

intensywność umieralności (natężenie wymierania, Szablon:Ang.) – wielkość wyrażająca śmiertelność dla danego wieku

${\mu }_x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{Pr(x<X<x+\mathrm{\Delta }x|X>x)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia $s(x)$ ($s(x)$ – prawdopodobieństwo, że noworodek dożyje wieku $x$)

$Pr(x<X<x+\mathrm{\Delta }x|X>x)=\frac{s(x)-s(x+\mathrm{\Delta }x)}{s(x)}.$

Po podstawieniu otrzymuje się

${\mu }_x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{s(x)-s(x+\mathrm{\Delta }x)}{s(x)\mathrm{\Delta }x}=-\frac{s^{\prime }(x)}{s(x)}=-\frac{d}{dx}\ln s(x).$

Intensywność umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw oznaczanych w naukach aktuarialnych symbolem ${}_t{p}_x$ (${}_t{p}_x$ – prawdopodobieństwo, że $x$-latek przeżyje $t$ lat)

${\mu }_{x+t}=-\frac{\frac{d}{dt}{}_t{p}_x}{{}_t{p}_x}=-\frac{d}{dt}\ln {}_t{p}_x$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę