Całkowy sinus hiperboliczny

Całkowy sinus hiperboliczny – funkcja specjalna zdefiniowana jako:

$\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{f}}{=}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh (t)}{t}dt$

gdzie $\sinh (x)$ jest sinusem hiperbolicznym. Funkcja podcałkowa ma dla $t=0$ ma punkt osobliwy i za jej wartość przyjmuje się granicę $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to 0}\frac{\sinh (t)}{t}.$

Niektóre własności i zależności:

• $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(-x)=-\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$
• $i\cdot \mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\mathrm{S}\mathrm{i}(ix)$
• $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\frac{x}{1\cdot 1!}+\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}+\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}$
• $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\frac{\mathrm{E}\mathrm{i}(x)-\mathrm{E}\mathrm{i}(-x)}{2}$

gdzie $\mathrm{E}\mathrm{i}(x)$ jest funkcją całkowo-wykładniczą, zaś $\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$ jest sinusem całkowym.

Całkowy sinus hiperboliczny występuje w rozwiązaniach równań różniczkowych opisujących niektóre zjawiska w ośrodkach ciągłych (np. przepływ cieczy nienewtonowskich w rurach i szczelinach).

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Integral hyperbolic sine Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].