Wzór Panjera

Wzór Panjera – wzór rekurencyjny wprowadzony w 1981 roku przez Harry’ego Panjera (a następnie uogólniony przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella), służący do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego iż łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa oraz których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

Wzór Panjera

Oznaczenia

• $\mathbb{P}(A)$ – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$
• $f_j:=\mathbb{P}(Y=j)$ dla $j=0,1,2\dots$
• $p_n:=\mathbb{P}(N=n)$ dla $n=0,1,2\dots$
• $X_n:=Y_1+\dots +Y_n$ dla nielosowej liczby składników $n.$

Założenia

• $X=0$ w przypadku, gdy $N=0,$
• $Y_1,Y_2,\dots$ są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa
• $Y_1,Y_2,\dots$ są parami niezależne
• $Y_1,Y_2,\dots$ są niezależne od $N.$
• $X=Y_1+\dots +Y_N$
• $p_n=p_{n-1}(a+\frac{b}{n})$ dla dostatecznie dużych $n,$ tzn. dla $n>n_0,$ gdzie $n_0$ jest pewną liczbą naturalną.

Wzór rekurencyjny

1. $\mathbb{P}(X=0)=\{\begin{array}{cc}{p}_0& f_0=0\\ \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(f_0{)}^n& f_0>0\end{array}$
2. $\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{1-a{f}_0}\left(\sum _{j=1}^k\right(a+b\frac{j}{k})f_j\mathbb{P}(X=k-j)+\sum _{n=1}^m(p_n-(a+\frac{b}{n})p_{n-1})\cdot \mathbb{P}(X_n=k))$

Klasy rozkładów spełniających założenia wzoru

Szablon:Osobny artykuł Klasa rozkładów liczby szkód, spełniających założenia wzoru Panjera z $m=0$ nazywana jest klasą Panjera, a z $m>0$ klasą Sundta-Jewella. Zgodnie z założeniami pierwszych $m$ prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których $m=0,$ to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów $a$ i $b$):

• rozkład Poissona (gdy $a=0,$ $b>0$)
• rozkład dwumianowy (gdy $a<0,$ $b=-a(l+1),$ $l=1,2,3,\dots$)
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy $a\in (0,1),$ $b>-a$)
• rozkład zdegenerowany $p_0=1$ (gdy $b=-a$)

Zastosowania

Wzór Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie wzoru w przypadku ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest jednak wówczas dyskretyzacja takiego rozkładu.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę