Pochodna ułamkowa

Szablon:Dopracować Pochodna ułamkowa – uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty.

Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech

$f(x)=x^k,$

wtedy pochodna n-tego rzędu

$\frac{d^n}{d{x}^n}{x}^k=\frac{k!}{(k-n)!}{x}^{k-n}.$

Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza się do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja $\mathrm{\Gamma }$.

Dla $a$ rzeczywistego definiujemy więc

$\frac{d^a}{d{x}^a}{x}^k=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k-a+1)}{x}^{k-a}.$

Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora

$f(y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x{)}^n,$

można ją zróżniczkować wyraz po wyrazie zgodnie z powyższą definicją, co jest równoważne

$f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}\frac{d^a}{d{x}^a}f(t)dt,$

licząc całki również wyraz po wyrazie.

Łatwo sprawdzić ze pochodna ułamkowa jest ciągła względem jej rzędu.