Nierówność Paleya-Zygmunda

Nierówność Paleya-Zygmunda dostarcza oszacowania w terminach wartości oczekiwanej i wariancji na wielkość prawdopodobieństwa, że nieujemna zmienna losowa o skończonej wariancji jest mała. Nierówność ta została udowodniona przez Raymonda Paleya i Antoniego Zygmunda.

Twierdzenie

Niech $Z$ będzie nieujemną zmienną losową o skończonej wariancji i niech $\lambda \in (0,1).$ Wówczas prawdziwa jest nierówność

$\mathbb{P}(Z⩾\lambda 𝔼Z)⩾(1-\lambda {)}^2\frac{(𝔼Z{)}^2}{𝔼Z^2}.$

Dowód

Korzystając z nierówności Höldera, dostajemy $(𝔼Z^2{)}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{P}(Z⩾\lambda 𝔼Z){)}^{\frac{1}{2}}⩾𝔼Z{𝕀}_{\{Z⩾\lambda 𝔼Z\}}.$

A zatem $(𝔼Z^2{)}^{\frac{1}{2}}(\mathbb{P}(Z⩾\lambda 𝔼Z){)}^{\frac{1}{2}}⩾𝔼Z{𝕀}_{\{Z⩾\lambda 𝔼Z\}}=𝔼Z-𝔼Z{𝕀}_{\{Z<\lambda 𝔼Z\}}⩾(1-\lambda )𝔼Z.$

Podnosząc obie strony nierówności do kwadratu, dostajemy tezę.

Bibliografia

• Skrypt do rachunku prawdopodobieństwa