Obszar normalny

Obszar (w ${ℝ}^2$) normalny względem osi OX – podzbiór D płaszczyzny z wyróżnionym kartezjańskim układem współrzędnych, który jest ograniczony dwoma wykresami funkcji ciągłych oraz prostymi równoległymi do osi OY.

Zbiór $D\subseteq {ℝ}^2$ jest obszarem normalnym względem osi OX, jeśli

$D=\{(x,y)\in {ℝ}^2:a⩽x⩽b;f(x)⩽y⩽g(x)\},$

gdzie $f,g:[a,b]\to ℝ$ są funkcjami ciągłymi, $a<b.$

Proste $x=a$ i $x=b$ ograniczają obszar po prawej i lewej stronie, a krzywe $y=g(x)$ i $y=f(x)$ odpowiednio od góry i dołu.

Pole obszaru normalnego

Pole $|D|$ obszaru normalnego $D\subseteq {ℝ}^2$ dane jest wzorem

$|D|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(g(x)-f(x))\mathrm{d}x$

Dowód:

$f(x)$ jest ciągła w przedziale $[a,b],$ zatem spełnia założenia twierdzenia Weierstrassa, więc $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ zachodzi $f(x)>m$ dla pewnego $m\in ℝ.$

Jeżeli $m<0$ to przesuwamy obszar $D$ o wektor $[0,-m].$

Otrzymany obszar $D^{\prime }=D$ bo przesunięcie o wektor (czyli translacja) jest izometrią.

Oznaczmy $f_1(x)=f(x)+m$ i $g_1(x)=g(x)+m.$

Pole tego obszaru normalnego jest równe różnicy dwóch trapezów krzywoliniowych:

$|D|=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_1(x)\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{g}_1(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_1(x)-g_1(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x,$

ponieważ $f_1(x)$ i $g_1(x)$ różnią się od $f_1(x)$ i $g_1(x)$ tylko o stałą.

q.e.d.

Obszar normalny w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór $V\subseteq {ℝ}^3$ jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy jeśli istnieje obszar normalny $V^{\prime }\subseteq {ℝ}^2$ oraz funkcje ograniczone i ciągłe $f,g:V^{\prime }\to ℝ,f⩽g,$ takie, że:

$V=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:(x,y)\in V^{\prime }z\in [f(x,y),g(x,y)]\}.$

Analogicznie definiuje się obszar normalny względem innych płaszczyzn.