Cząstka w studni potencjału

Szablon:Dopracować Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości $L$ bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla $x<0$ i $x>L$ i zerowy dla $0<x<L.$

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości $L$ dla niektórych wartości własnych energii $m.$

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

${\psi }_m(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{m\pi x}{L}\right).$

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne $m,$ a ponadto prawdopodobieństwo $|{\psi }_m(x){|}^2$ znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną $x$) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty $x=0$ i $x=L$). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi ,(1)$

gdzie potencjał V(x) jest równy:

$V(x)=\{\begin{array}{cccc}{V}_0& & x\in (-\mathrm{\infty },-a]& \text{obszar I}\\ 0& & x\in (-a,a)& \text{obszar II}\\ V_0& & x\in [a,\mathrm{\infty })& \text{obszar III}\end{array}$

Potencjał $V(x)$ jest symetryczny względem inwersji (x → -x (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=E\psi .(2)$

Obszary I i III są klasycznie zabronione $(E<V_0),$ ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=(E-V_0)\psi .(3)$

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze $(x<0)$

$\psi =A{e}^{\kappa x},$

a w III $(x>L)$

$\psi =D{e}^{-\kappa x}$

z

$\frac{{\hslash }^2{\kappa }^2}{2m}=(V_0-E).(4)$

W obszarze II ma charakter oscylujący

$\psi =(B\sin (kx)+C\cos (kx))$

z

$E=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2{k}^2}{2m{L}^2}.(5)$

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla $x=-a$ i $x=a.$ Warunki te dają równanie liniowe

$\left(\begin{array}{cccc}{e}^{-a\kappa }& -\cos (ka)& \sin (ka)& 0\\ \kappa e^{-a\kappa }& -k\sin (ka)& -k\cos (ka)& 0\\ 0& \cos (ak)& \sin (ka)& -e^{-a\kappa }\\ 0& -k\sin (ka)& k\cos (ka)& \kappa e^{-a\kappa }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right)=0$

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

$\kappa =-k\mathrm{ctg}(ka),$

$\kappa =k\mathrm{tg}(ka).$

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: $x=ak$ i $y=a\kappa$ wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

$x^2+y^2=r^2$

z promieniem

$r=\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}{V}_0}.$

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: $y=-x\mathrm{ctg}(x)$ lub $y=x\mathrm{tg}(x).$ W zależności od promienia $r$ (lub wysokości studni $V_0$) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z: $-x_0$ i $+x_0$ o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też

• cząstka w pudle potencjału
• studnia kwantowa