Relatywistyczny efekt Dopplera

Relatywistyczny efekt Dopplera – efekt Dopplera zachodzący dla światła. Podobnie jak w mechanice klasycznej, relatywistyczny efekt Dopplera prowadzi do zmiany mierzonej przez obserwatora częstotliwości fali (w tym przypadku elektromagnetycznej) względem częstotliwości emitowanej przez źródło. Aby zgodnie z mechaniką relatywistyczną obliczyć taką zmianę, konieczne jest uwzględnienie przewidywanych przez szczególną teorię względności efektów, takich jak dylatacja czasu. Relatywistyczny efekt Dopplera jest szczególnie zauważalny przy względnej prędkości źródła i obserwatora bliskiej prędkości światła w próżni.

Ruch źródła względem obserwatora

Niech źródło promieniowania elektromagnetycznego porusza się względem układu obserwatora $O$ z prędkością $v$ w takim kierunku, że kąt mierzony w układzie obserwatora między tym kierunkiem a kierunkiem na obserwatora wynosi $\theta .$ Jeśli źródło porusza się dokładnie w kierunku obserwatora, $\theta =0.$ Załóżmy, że źródło emituje krótkie sygnały z częstością $f^{\prime }=1/\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ mierzoną w układzie źródła $O^{\prime }.$ W układzie $O,$ na skutek dylatacji czasu, częstość emitowanych sygnałów wynosi $f=f^{\prime }/\mathrm{\Gamma },$ gdzie $\mathrm{\Gamma }=1/\sqrt{1-{\beta }^2}$ jest czynnikiem Lorentza źródła, $\beta =v/c$ jest bezwymiarową prędkością źródła i $c$ jest prędkością światła w próżni. Rozważmy jeden z sygnałów wyemitowany w kierunku obserwatora w chwili $t=0.$ Zbliża się on do obserwatora z prędkością $c,$ tymczasem prędkość zbliżania się źródła do obserwatora wynosi $v\cos \theta .$ W momencie emisji kolejnego sygnału $t=1/f,$ poprzedni sygnał znajduje się bliżej obserwatora o $\mathrm{\Delta }x=(c-v\cos \theta )/f.$ Sygnały te zostaną zarejestrowane w odstępie czasowym $\mathrm{\Delta }{t}_{obs}=\mathrm{\Delta }x/c,$ a więc z częstością

$f_{obs}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{t}_{obs}}=\frac{f}{1-(v/c)\cos \theta }=\frac{f^{\prime }}{\mathrm{\Gamma }(1-\beta \cos \theta )}=D{f}^{\prime },$

gdzie $D$ jest czynnikiem Dopplera. W szczególnym przypadku, kiedy źródło porusza się dokładnie w kierunku obserwatora $(\theta =0),$ $D=\sqrt{(1+\beta )/(1-\beta )}>1,$ obserwujemy zwiększoną częstość rejestrowanych sygnałów pomimo tego że dylatacja czasu prowadzi do obniżenia częstości emisji. W przypadku źródła poruszającego się w kierunku przeciwnym $(\theta =180^{\circ }),$ $D=\sqrt{(1-\beta )/(1+\beta )}<1.$ Obserwowana częstość będzie równa częstości emitowanej $(D=1)$ dla obserwatorów spełniających warunek $\sin \theta =\sqrt{2/(1+\mathrm{\Gamma })}.$ W przybliżeniu nierelatywistycznym $(\beta \ll 1),D=1+\beta \cos \theta .$

Obserwowana jasność źródła

Ruch źródła promieniowania elektromagnetycznego wpływa nie tylko na obserwowaną częstość sygnałów z niego pochodzących, ale także na jego obserwowaną jasność. Aby się o tym przekonać, rozważmy detektor o powierzchni $\mathrm{\Delta }{S}_{obs},$ który obserwator skierował prostopadle do kierunku na źródło. Strumień obserwowanego promieniowania jest ilością energii $\mathrm{\Delta }{E}_{obs}$ fotonów padających na detektor w czasie $\mathrm{\Delta }{t}_{obs}.$ Gęstość strumienia promieniowania wyraża się przez:

$F_{obs}=\frac{\mathrm{\Delta }{E}_{obs}}{\mathrm{\Delta }{t}_{obs}\mathrm{\Delta }{S}_{obs}}.$

Załóżmy, że obserwowane są fotony o jednakowej energii $E_{obs},$ zatem $\mathrm{\Delta }{E}_{obs}=E_{obs}\mathrm{\Delta }{N}_{obs},$ gdzie $\mathrm{\Delta }{N}_{obs}$ jest ilością zaobserwowanych fotonów. Częstość zaobserwowanych fotonów wynosi $f_{obs}=\mathrm{\Delta }{N}_{obs}/\mathrm{\Delta }{t}_{obs}.$ Niech $d$ będzie odległością do źródła, wówczas powierzchnię detektora można wyrazić przez $\mathrm{\Delta }{S}_{obs}=d^2\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_{obs},$ gdzie $\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_{obs}$ jest kątem bryłowym zajmowanym przez detektor z punktu widzenia źródła w układzie $O.$ Gęstość strumienia promieniowania wiąże się z jasnością izotropową, która jest ilością energii wyemitowanej przez źródło w jednostce czasu we wszystkich kierunkach:

$L_{obs}=4\pi d^2{F}_{obs}=f_{obs}{E}_{obs}\frac{4\pi }{\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_{obs}}.$

Na skutek relatywisticznego efektu Dopplera, $f_{obs}=D{f}^{\prime }$ oraz $E_{obs}=D{E}^{\prime }.$ Natomiast w wyniku aberracji promieniowania elektromagnetycznego, $\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}_{obs}=\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }/D^2.$ W efekcie otrzymujemy relatywistyczną transformację jasności poruszającego się źródła:

$L_{obs}=D^4{f}^{\prime }{E}^{\prime }\frac{4\pi }{\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}=D^4{L}^{\prime }.$

Nawet jeśli źródło w swoim układzie spoczywającym emituje izotropowo, jego promieniowanie w układzie obserwatora staje się silnie nieizotropowe dla prędkości relatywistycznych. Przykładowo, źródło o prędkości $\beta =0,99$ $(\mathrm{\Gamma }=7.1)$ będzie wzmocnione prawie 40 tysięcy razy dla obserwatora, do którego źródło się zbliża, oraz o taki sam czynnik osłabione dla obserwatora, od którego się oddala. Tym właśnie efektem tłumaczy się olbrzymie obserwowane jasności astrofizycznych obiektów wyposażonych w relatywistyczne dżety skierowane w stronę obserwatora, w szczególności blazarów $(\mathrm{\Gamma }=10-40)$ oraz błysków gamma $(\mathrm{\Gamma }=100-400).$

Precyzyjne pomiary czasu

Relatywistyczny efekt Dopplera, zwany także efektem Dopplera drugiego rzędu, uwzględnia się na przykład w analizie zjawisk zachodzących w cezowym wzorcu atomowym. Definicja sekundy opiera się na promieniowaniu w nieruchomym atomie cezu. W rzeczywistości promieniujące atomy cezu są w ruchu względem detektora promieniowania, co powoduje relatywistyczne przesunięcie częstotliwości, którego wartość względna jest rzędu – 10⁻¹³.

Wykrycie jakiegokolwiek zjawiska jest możliwe wtedy, gdy do obserwatora dociera sygnał niosący stosowną informację. Sygnałem niosącym informację o efektach relatywistycznych jest sygnał elektromagnetyczny. Jeśli za pomocą tego sygnału obserwator (odbiornik) nieruchomy w R′ obserwuje częstotliwość zegara nieruchomego w R (nadajnik), lecz w układzie R′ poruszającego się względem odbiornika z prędkością v, to dla pełnego opisu zjawiska konieczne staje się także uwzględnienie klasycznego efektu Dopplera.

Efekt grawitacyjny

Zgodnie z ogólną teorią względności, w pobliżu obiektów posiadających masę czas płynie wolniej, niż z dala od nich. Atomy emitujące światło na powierzchni Słońca wysyłają fale, które odbierane na Ziemi mają mniejszą częstotliwość, niż ma to miejsce w przypadku takich samych atomów badanych w laboratorium.

Czynnik Lorentza w odległości $r$ od środka masy $m$ wynosi w tym przypadku

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2Gm}{c^{2}r}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_{Sch}}{r}}},$

gdzie:

$r_S$ – promień Schwarzschilda $r_{Sch}=\frac{2Gm}{c^2},$

$G$ – stała grawitacji Newtona (6,67×10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻²),

$c$ – prędkość światła w próżni (3×10⁸ m s⁻¹).

W efekcie częstotliwość fali emitowanej w pobliżu dużej masy i obserwowana z dala od niej i innych mas staje się mniejsza, i wynosi:

$f^{\prime }=f\sqrt{1-\frac{r_{Sch}}{r}}.$

Szczególny przypadek dotyczy sytuacji, gdy promień obiektu o masie $m$ zmaleje na tyle, że równy jest promieniowi Schwarzschilda. Tak dzieje się w pobliżu czarnej dziury. Częstotliwość światła wytwarzanego przez źródło wpadające do czarnej dziury stale maleje dążąc do zera. W efekcie otoczenie czarnej dziury staje się niewidoczne dla oddalonego od niej obserwatora. Zjawiska towarzyszące spadaniu materii z ogromną prędkością prowadzą do takiego nagrzewania się otaczającego gwiazdę gazu, że wysyła on promieniowanie świetlne lub rentgenowskie. Jednak najbliższe otoczenie czarnej dziury jest niewidoczne.

Ekspansja czasoprzestrzeni

Zgodnie z prawem Hubble’a galaktyki oddalają się od siebie z prędkością proporcjonalną do wzajemnej odległości. W przypadku obserwatora na Ziemi, zależność tę można wyrazić wzorem:

$v=H_{0}r,$

gdzie $H_0$ ≈ 71 km/s/Mpc to stała Hubble’a.

Zgodnie z kosmologicznym modelem Wielkiego Wybuchu tego typu zależność, prawdziwa dla dostatecznie bliskich obiektów, wynika z faktu rozszerzania się czasoprzestrzeni (por. metryka FLRW). W związku z tym również i fale elektromagnetyczne „rozciągają” się razem z przestrzenią. Kiedy więc np. w odległej galaktyce wybucha supernowa, wysłane przez nią światło może potrzebować wielu miliardów lat, aby dotrzeć do detektorów umieszczonych w teleskopach. W tym czasie przestrzeń, którą przemierzają fale, ulega ekspansji, co zwiększa ich długość. Im dalej jest supernowa, tym większa jest różnica pomiędzy długością fali zarejestrowaną na Ziemi a tą wysłaną przez źródło. Miarą tej zmiany jest przesunięcie ku czerwieni $z,$ dane wzorem:

$z=\frac{{\lambda }_o-{\lambda }_e}{{\lambda }_e},$

gdzie ${\lambda }_o$ to długość fali odebranej, zaś ${\lambda }_e$ – wysyłanej.

Dla obiektu oddalającego się od nas z prędkością $v,$ powyższe długości fal są powiązane wzorem

${\lambda }_e=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}{\lambda }_o.$

Linki zewnętrzne

• Kinematyka relatywistyczna