Aksjomat zbioru potęgowego

Aksjomat zbioru potęgowego, AxPSzablon:Odn – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postaćSzablon:Odn:

$\mathrm{\forall }u\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y\iff \mathrm{\forall }z(z\in x\Rightarrow z\in u)).$

Można go również sformalizować inaczejSzablon:Odn:

$\mathrm{\forall }u\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y\iff x\subseteq u).$

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol $\subseteq$ oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji $(x\subseteq y\iff \mathrm{\forall }z(z\in x\Rightarrow z\in y))$Szablon:Odn.

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru $u$ istnieje zbiór $y,$ którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru $u.$ Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnienie dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru $u$Szablon:Odn. Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $u.$ Oznacza się go $P(u).$

Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: $\mathrm{\forall }x(x\in P(U)\iff x\subseteq U)$Szablon:Odn.

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego

W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF⁻ (bądź ZFC⁻), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał, zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF⁻, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba ${\omega }_1$ jest singularna), a także takie modele ZF⁻, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba ${\omega }_1$ istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone wykazali, że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC⁻.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].