Zmienne zależna i niezależna

Zmienna zależna i niezależna

Zmienne zależne i niezależne – sposób odróżniania dwóch rodzajów wielkości:

• te, które są dostępne od początku procesu i przez niego ukonstytuowane nazywane są zmiennymi niezależnymi;
• te, które pojawiają się później i są w ten sposób zależne od poprzednich nazywa się zmiennymi zależnymi.

W matematyce zmienne zależne rozumie się zwykle jako funkcje zmiennych niezależnych.

W modelowaniu statystycznym i ekonometrycznym, np. w analizie regresji lub w analizie wariancji, zmiennymi niezależnymi nazywa się dość często zmienne objaśniające, a zmiennymi zależnymi zmienne objaśniane. Może to być mylące ze względu na to, że niezależność zdarzeń i zmiennych losowych to w teorii prawdopodobieństwa zupełnie inne pojęcie, zaś zmienne objaśniające często są zależne między sobą i skorelowane ze zmienną objaśnianą.

Przykład 1

Rozważmy taką sytuację z punktu widzenia mechaniki klasycznej:

Jeżeli kamień zostanie rzucony pionowo w górę, to wraz z upływem czasu (oznaczonym przez zmienną $t$) będzie się zmieniała jego odległość od ziemi (oznaczona przez zmienną $h$). Zatem zmienna $h$ wyraźnie zależy od zmiennej $t,$ gdyż odległość kamienia od ziemi zależy od momentu, w którym ją zmierzymy. Natomiast nie zachodzi relacja odwrotna, tzn. niezależnie od odległości kamienia od ziemi, czas płynie zawsze tak samo, czyli zmienna $t$ nie zależy od zmiennej $h.$ Zatem $t$ jest zmienną niezależną natomiast $h$ jest zmienną zależną (od zmiennej $t$).

Można znaleźć dokładniejszy związek pomiędzy czasem i odległością kamienia od ziemi i zapisać w postaci wzoru matematycznego, przyjmując pewne założenia upraszczające (takie jak między innymi brak oporu powietrza), dostając takie równanie:

$h(t)=v_{0}t-g{t}^2/2,$

gdzie $v_0$ to prędkość pionowa z jaką kamień został wyrzucony z powierzchni ziemi, natomiast $g$ to przyspieszenie ziemskie. W ten sposób, przyjmując pewne założenia upraszczające rzeczywistość (prosty model fizyczny), znaleźliśmy użyteczny w pewnych sytuacjach (z praktycznego punktu widzenia) związek zmiennej niezależnej $t$ i zależnej $h.$

Przykład 2

Dane równanie $s=vt$ w interpretacji fizycznej ruchu zawiera w sobie dwie zmienne zależne: $s=s(t)$ oraz $v=v(t).$ Oznacza to, że przebyta droga $s$ oraz prędkość $v$ są zależne od czasu i można, a nawet należy te wielkości rozpatrywać jako pewne funkcje czasu. Ostatecznie pełna forma przybierze postać

$s(t)=v(t)\cdot t.$

Podobnie w równaniach różniczkowych można rozpatrywać przyrosty (różniczki) względem parametrów. W zapisie równań różniczkowych ze zmiennymi zależnymi i niezależnymi

$\frac{ds(t)}{dt}=\frac{dv(t)}{dt}\cdot t+v(t)\cdot 1=\frac{dv(t)}{dt}t+v(t),$

lub w notacji kropkowej – kropka nad znakiem oznacza różniczkę danego wyrażenia względem zmiennej niezależnej

$\dot{s}=\dot{v}t+v.$

Zobacz też

• równanie różniczkowe
• zmienna
• zmienna objaśniana
• zmienna objaśniająca