Nierówności Bernsteina

Nierówności Bernsteina – nierówności pojawiające się w rachunku prawdopodobieństwa. Ich nazwa pochodzi od nazwiska radzieckiego matematyka, Siergieja Bernsteina.

Nierówność Bernsteina

Niech $X_1,\dots ,X_n$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi na przestrzeni $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ o tym samym rozkładzie takimi, że $|X_i|⩽K,\text{E}{X}_i=0,\text{E}{X}_i^2={\sigma }^2$ dla pewnej liczby $K⩾0$ oraz wszystkich liczb naturalnych $i⩽n.$ Wówczas, prawdziwa jest następująca nierówność, zwana nierównością Bernsteina:

$P\left(\right|X_1+\dots +X_n|>t\sigma \sqrt{n})⩽2\exp (-\frac{t^2}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{Kt}{3\sigma \sqrt{n}}}).$

Nierówność Bernsteina (schemat Bernoulliego)

Jeśli $S_n$ jest liczbą sukcesów w schemacie $n$ prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu $p,$ to dla każdego $\epsilon >0$

$P(|\frac{S_n}{n}-p|>\epsilon )⩽2e^{-\frac{n{\epsilon }^2}{4}}.$

Szczególnym przypadkiem tej nierówności jest tzw. symetryczna nierówność Bernsteina, która mówi, że jeżeli $(U_n)$ jest ciągiem Bernoulliego, to

$P(\frac{U_1+\dots +U_n}{\sqrt{n}}>r)⩽e^{-\frac{r^2}{2}}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę