Kwantowanie (fizyka)

Kwantowanie, kwantyzacja – konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Metody kwantowania

Kwantowanie kanoniczne

W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych $q_i$ i pędów uogólnionych $p_i$ – zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako

$\{A,B\}=\sum _{i=1}(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}).$

Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio ($k$ i $l$ indeksują zmienne kanoniczne)

$\{q_l,q_k\}=0,$

$\{p_l,p_k\}=0,$

$\{q_l,p_k\}={\delta }_{lk}.$

Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory

$\{.,.\}⟶\frac{1}{i\hslash }[.,.],$

czyli

$\hat{H}=H(\hat{q},\hat{p},t),$

$[{\hat{q}}_l,{\hat{q}}_k]=0,$

$[{\hat{p}}_l,{\hat{p}}_k]=0,$

$[{\hat{q}}_l,{\hat{p}}_k]=i\hslash {\delta }_{lk}.$

Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji $\mathrm{\Psi }(q)$ można wprowadzić operatory

${\hat{q}}_i\mathrm{\Psi }(q)=q_i\mathrm{\Psi }(q),$

${\hat{p}}_i\mathrm{\Psi }(q)=-i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(q)}{\partial q_i}.$

spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład nierelatywistycznej cząstki swobodnej

Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać $H=\frac{1}{2m}{\overrightarrow{p}}^2.$ Odpowiadający mu kwantowy operator to $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }.$ Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii, rozwiązujemy równanie

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=E\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x}).$

Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:

$-i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{k}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x}).$

Rozwiązując te równania, znajdujemy

$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{x})=N{e}^{\frac{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}}{\hslash }},$

$E=\frac{1}{2m}{\overrightarrow{k}}^2.$

W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.

Zobacz też

• funkcja falowa
• hamiltonian
• mechanika klasyczna
• mechanika kwantowa
• nawias Poissona

Bibliografia

• Steven Weinberg, Teoria pól kwantowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001.